متفاوتتان .

[ياسين]

x_1وyوz أعداد حقيقية موجبة بحيث :
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0591269001183630317.png
بين أن http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0169417001183630587.png
2_aو b عددان حقيقيان موجبان قطعا
بين أن http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0888137001183630761.png.

[omar]

حل المتفاوتة الأولى :

لدينا حسب متفاوتة الوسط الحسابي والهندسي :

\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}{8} \ge 3\sqrt[3]{\frac{x^3}{(1+y)(1+z)} \frac{(1+y)}{8} \frac{(1+z)}{8}} = \frac{3x}{4}

وبالمثل نتوصل إلى متفاوتتين مشابهيتين

\frac{y^3}{(1+z)(1+x)}+\frac{1+z}{8}+\frac{1+x}{8} \ge 3\sqrt[3]{\frac{y^3}{(1+z)(1+x)} \frac{(1+z)}{8} \frac{(1+x)}{8}} = \frac{3y}{4}

\frac{z^3}{(1+x)(1+y)}+\frac{1+x}{8}+\frac{1+y}{8} \ge 3\sqrt[3]{\frac{z^3}{(1+x)(1+y)} \frac{(1+x)}{8} \frac{(1+y)}{8}} = \frac{3z}{4}

الآن بجمع المتفاوتات الثلاث نجد :

\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^3}{(1+z)(1+x)}+\fra c{z^3}{(1+x)(1+y)}+\frac{3}{4}+\frac{x+y+z}{4} \ge\frac{3}{4}(x+y+z)

ومنه : \frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^3}{(1+z)(1+x)}+\fra c{z^3}{(1+x)(1+y)} \ge\frac{x+y+z}{2} - \frac{3}{4}

ولتكن هذه المتفاوتة 1

الآن باستعمال متفاوتة الوسط الحسابي والهندسي مرة أخرى نجد أن :

x+y+z \ge 3\sqrt[3]{xyz}=3

ومنه \frac{x+y+z}{2}-\frac{3}{4} \ge \frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}

ولتكن هذه المتفاوتة 2

من المتفاوتتين 1 و 2 نتوصل إلى النتيجة المرجوة .

[ياسين]

:ty::ty::ty::ty::ty::ty::ty::ty::ty::ty::ty::ty::t y:
استاذ _عمر_ لقد حيرتني هذه المتفاوتة ..دائما طريقتك في البرهان مبدعة :clap:
بقي الا ن المتفاوتة التانية من لها...
تحياتي

[yousuf]

انا مهارتي في المتباينات ضئيلة جداً

[ياسين]

حاول تنمية مهاراتك اخي _يوسف_ في المتباينات لان علم المتفاوتات علم جميل جدا.كما ان هذا القسم مليئ بعدة متفاوتات صعبة و دائما ما يكون الوسط =الحسابي و الهندسي و... هو مفتاح البرهنة
تحياتي

[anas15]

http://i22.servimg.com/u/f22/11/19/43/79/soluti12.gif (http://www.servimg.com/image_preview.php?i=24&u=11194379)

[ياسين]

_anas_:ty::ty::t طريقة جميلة للبرهان .
تحياتي