أولمبياد مغربي:حدد جميع الأعداد(ص ط الأولية)

[ياسين]

حدد جميع الأعداد الصحيحة الطبعية الأوليةpوq بحيث يكون http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0028754001183738839.pngمربعا كاملا أي مربع عدد صحيح طبيعي.

[mathson]

الحل سهل :
إذا كان \large q عدد زوجي فإن المقدار \large (p+1)^q يكون مربعا كاملا : السبب :
بفرض أن \large q=2x\,\forall \,x \in N نستنتج :
\large\sqrt{(p+1)^q}=\sqrt{(p+1)^{2x}}=(p+1)^x أي أن له جذر .
أما إن كان \large q فرديا فإن المقدار \large (p+1)^q مربعا كاملا إذا و فقط كان \large (p+1) مربعا كاملا
السبب: بفرض أن :
\large q=2x+1 فيكون :
\large \sqrt{(p+1)^q}=\sqrt{(p+1)^{2x+1}}=\sqrt{(p+1)(p+1 )^{2x}}=\sqrt{p+1}(p+1)^x
أي أن مجموعة الحل :
(p , q) حيث q عدد زوجي وإلا p عدد طبيعي حيث p+1 مربع كامل .

[ياسين]

عدرا الموضوع مكرر و قد اجاب عنه الاخ mohey
شكرا على الاجابة اخي mathson

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=5498