المساعد الشخصي الرقمي

مشاهدة النسخة كاملة : ظل زاوية مثلث عدد صحيح طبيعي .


omar
12-07-2007, 03:06 AM
حدد جميع المثلثات ABC بحيث تكون (tan(A و (tan(B و (tan(C أعداد صحيحة طبيعية .

محمدحسين
12-07-2007, 07:56 AM
السلام عليكم
اعتقد أن :
ظا أ = 1 ، ظا ب = 2 ، ظا جـ = 3 طبعا مع ابدالهم
تحياتى

محمدحسين
16-07-2007, 07:34 AM
السلام عليكم
لم ترد اخى عمر
ارجو ان يكون المانع خير
بالمناسبة انا استخدمت القانون
ظاأ + ظا ب + ظا جـ = ظا أ ظا ب ظاجـ
وحيث انها اعداد صحيحة فان 1 ، 2 ، 3 هى الاعداد الصحيحة الوحيدة
التى مجموعها = حاصل ضربها
تحياتى
ارجو الرد

omar
16-07-2007, 02:34 PM
السلام عليكم
لم ترد اخى عمر
ارجو ان يكون المانع خير
بالمناسبة انا استخدمت القانون
ظاأ + ظا ب + ظا جـ = ظا أ ظا ب ظاجـ
وحيث انها اعداد صحيحة فان 1 ، 2 ، 3 هى الاعداد الصحيحة الوحيدة
التى مجموعها = حاصل ضربها
تحياتى
ارجو الرد

حلك أخي الكريم صحيح لكنه مختصر جدا .. لذلك كنت أنتظر تفاصيل أكثر .

فعلا مفتاح المسألة هو القانون( tan(A)+tan(B)+tan(C)=tan(A)tan(B)tan(C

بقي الآن إثبات أن الأعداد الصحيحة الطبيعية التي مجموعها يساوي حاصل ضربها هي 1 و 2 و 3 .

تحياتي .

محمدحسين
18-08-2007, 06:37 AM
السلام عليكم
ارجو منك اخى عمر ان تدرج الاثبات
لم استطيع اثبات ان الاعداد الصحيحة التى مجموعها يساوى حاصل ضربها هى 1 ، 2 ، 3
اتمنى ان تدرج الحل
تحياتى

omar
21-08-2007, 02:34 AM
بوضع a=\tan(A) و b=\tan(B) و c=\tan(C) تعود المسألة إلى حل المعادلة الديوفانتية \Large abc=a+b+c حيث a و b و c أعداد صحيحة موجبة قطعا ؟

لاحظ أولا أنه لايمكن أن يكون للمثلث ABC زاية منفرجة لأن في هذه الحالة يكون \tan(A) أو \tan(B) أو \tan(A) سالبا وهذا يناقض كونها موجبة .
ثانيا لايمكن أن يكون المثلث قائم الزاوية في A مثلا لأن في هذه الحالة سيكون \tan (A) = + \infty
ثالثا لايمكن أن يكون متساوي الساقين مثلا b = c لأن هذا يستلزم a+2b=ab^2 أي a=\frac{2b}{b^2-1} .
ومنه a - 1 = \frac{{2 - (b - 1)^2 }}{{b^2 - 1}} .
ومن هذه المتساوية الأخيرة نثبت بسهولة أن إذا كان b \ge 3 فإن a \prec 1 وطبعا هذا غير ممكن مادام a عدد صحيح موجب غير منعدم .
إذن المثلث زواياه كلها حادة والأضلاع غير مختلفة ومنه يمكن أن نفترض أن a \prec b \prec c ومنه a+b+c \prec 3c .
وبما أن abc= a+b+c فإن abc \prec 3c أي ab \prec 3 وحيث أن العددين صحيحين موجبين فإن a=1 و b=2 .
وبالتعويض في المعادلة a+b+c=abc نجد c=3 .
وبالتالي يوجد مثلث وحيد يحقق شروط المسألة :
\tan(A)=1 أي A = 45^0
\tan(B)=2 أي B =63,4349^0 .
\tan(C)=3 أي C=71,5650^0 .

محمدحسين
21-08-2007, 06:19 AM
السلام عليكم
شكرا لاهتمامك وردك اخى
والحل رائع وربنا يزيدك
تحياتى