تمرين هندسه من أولمبياد المغرب

[امام مسلم]

بسم الله الرحمن الرحيم

أثبت أن الشرط اللازم والكافى لكى تتقاطع منصفات الزوايا الداخله لشبه منحرف فى نقطه واحده هو أن يكون :
مجموع طولى القاعدتين المتوازيتين يساوى مجموع طولى الضلعين غير المتوازيين
__________________

[assooz]

سأحاول الحل راجيا من احد الاخوة ان يساعدني بادراج الرسم

نفرض شبه منحرف أطوال ضلعيه المتوازيين س، ص وأطوال الضلعين الآخرين ل،م
وزاياه الأربع هي 2ي 1، 2ي2، 2ي3 ،2 ي4

ومنصفاتها على الترتيب هي ع1،ع2،ع3،ع4

أولا ::--- نفرض ان المنصفات التقت في نقطو واحده ف ونريد اثبات ان مجموع الضلعين المتوازيين يساوي مجموع الضلعين الآخرين

نعرف ان ضلع اي مثلث =الضلع الثاني × جتا الزاوية المحصوره بين الاول والثاني +الضلع الثالث × جتا الزاوية المحصورة بين الأول الثالث

نطبق هذه القاعدة على المثلتات الاربع الناتجة من تنصيف زوايا شبه المنحرف فنحصل على المعادلات التالية

س=ع1×جتا ي1+ع4×جتاي4

ص=ع2×جتاي2+ع3×جتا ي3

مجموع المتوازيين=س+ص= ع1جتاي1+ع2جتاي2+ع3جتاي3+ع4جتاي4

ل= ع1×جتاي1+ع2×جتاي2

م=ع3×جتاي3+ع4×جتاي4

مجموع غير المتوازيين =ل+م=ع1جتاي1+ع2جتاي2+ع3جتاي3ع+4جتاي4

بمقارنة الطرفين الايسرين فمجموعين نلاحظ أن :--

س+ص=ل+م

ُ ثانيا :-نفرض شبه منحرفبنفس القياسات السابقة في (أولا) ونفرض ان س+ص=ل+م ونريد استنتاج ان منصفات زواياه تلتقي في نقطواحده

والآن فاصل ثم نواصل

ابقوا معنا بس لاتحلون(ثانيا ) قبلي 00انا راجع لكم

[assooz]

ثانيا :-- نفرض شبه المنحرف اب ج د فيه اب، ج د متوازيان وطولاهما س،ص وطولي الضلعين الآخرين ل،م وع1،ع2منصفا الزلويتين ا،ب تلاقيا في النقطه ف ووصلنا النقطة ف بالرأسين ج،د بالمستقينمين ع3،ع4

نفرض أن س+ص=ل+م ونريد اثبات أن ع3، ع4 منصفان أيضا

[assooz]

نفرض ان ا1هي نصف الزاويه ا ب1 هي نصف الزاوية ب

ونفرض ان ع3 يقسم الزاويه ج الى ج1،ج2
ونفرض ان ع4 يقسم الزاوية د الى د1،د2
حيث ج1،د1 يقعان على الضلع ج دفتكون لدينا العلاقات التالية حسب القانون المثلثي الذي استخدمدناه في الفقرة السابقه
س=ع1جتاا1+ع2جتاب1 & ص=ع3جتا ج1 +ع4جتاد1

ل=ع1جتاا1+ع4جتاد2 &م= ع2جتاب1+ع3جتاج2

وحيث اننا فرضنا ان س +ص=ل +م فإن :--

ع1جتاأ1+ع2جتاب1+ع3جتاج1+ع3جتاد1=ل=ع1جتاا1+ع4ج تاد2 + ع2جتاب1+ع3جتاج2

نتوقف الان ونعود بعد الفاصل

[assooz]

ماعليش اعادة مع تصحيح اخطاء مطبعيه

نفرض ان أ1هي نصف الزاويه أ & ب1 هي نصف الزاوية ب

ونفرض ان ع3 يقسم الزاويه ج الى ج1،ج2
ونفرض ان ع4 يقسم الزاوية د الى د1،د2
حيث ج1،د1 يقعان على الضلع ج دفتكون لدينا العلاقات التالية حسب القانون المثلثي الذي استخدمدناه في الفقرة السابقه
س=ع1جتاا1+ع2جتاب1 & ص=ع3جتا ج1 +ع4جتاد1

ل=ع1جتاا1+ع4جتاد2 &م= ع2جتاب1+ع3جتاج2

وحيث اننا فرضنا ان س +ص=ل +م فإن :--

ع1جتاأ1+ع2جتاب1+ع3جتاج1+ع4جتاد1=ع1جتاا1+ع4جتا د2 + ع2جتاب1+ع3جتاج2

نتوقف الان ونعود بعد الفاصل

[assooz]

بحذف المقادير المشتركة بين الطرفين نحصل على

ع3جتاج1+ع4جتاد1=ع3جتاج2+ع4جتاد2

ومنه نحصل على ع3(جتاج1-جتاج2)=== ع4(جتاد2--جتا1)

ومنه نستنتج ان جتاج1=جتاج2 (كيف؟؟؟)أي أن ج1=ج2 أي أن ع3 منصف للزاوية ج
وبالمثل ع4 منصف للزاوية د وبذلك نجد ان المنصفات التقت في نقطة واحدة

[assooz]

مساكم الله بالخير