المساعد الشخصي الرقمي

مشاهدة النسخة كاملة : شرح :معادلات ديوفانتس (Diophantus Equations)


حسام محمد
23-07-2007, 06:53 AM
معادلات ديوفانتس (Diophantus Equations)

تمهيد :

هي المعادلات التي سماها العرب المعادلات السيالة أي لها عدد لانهائي من الحلول
وهي معادلات بعدة متغيرات تخرج بأجوبة كثيرة .

تنسب هذه المعادلات إلى العالم اليوناني ديوفانتس الذي عاش حوالي 250 بعد الميلاد في الاسكندرية .
وكان أثر المصريين والبابليين بارزاً جداً في أعماله .

لم يضع ديوفانتس حلاً عاماً لهذه المعادلات بل كان يحل كل مسألة حلاً مستقلاً
لايستند إلى قاعدة عامة , ويجد الحلول الصحيحة لها .


معادلات ديوفانتس الخطية بمجهولين :

نكتب هذه المعادلات على النحو : ax+by=n حيث a,b,n أعداد صحيحة
ولنبحث عن الحلول الصحيحة لهذه المعادلات .

نلاحظ أولاً أنه قد يكون لمعادلة خطية من هذا النوع أكثر من حل ,

وعلى سبيل المثال نلاحظ أن كل من الثنائيات (4,1),(6,6-),(2-,10)
تحقق المعادلة 3x+6y=18

وقد لا يكون لمثل هذه المعادلات أي حل ,
فعلى سبيل المثال المعادلة 2x+10y=7 ليس لها أي حل
لأن الطرف الأول من المعادلة عدد زوجي والطرف الثاني عدد فردي .

حسام محمد
23-07-2007, 07:03 AM
مبرهنة :

إذا كان لدينا المعادلة (1) ax+by=c حيث c عدد صحيح , a,b عددان صحيحان غير معدومين معاً
فإنه يكون لهذه المعادلة حل إذا وفقط إذا كان d "القاسم المشترك الأعظم لـ a,b" يقسم الطرف الثاني c .
وإذا كان (x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>) حلاً خاصاً لهذه المعادلة فإن جميع الحلول تعطى بالعلاقات :
x=x<sub>0</sub>+bt/d
y=y<sub>0</sub>-at/d
حيث t عدد صحيح ما .

ملاحظة (1): إذا كان d=1 فإن
x=x<sub>0</sub>+bt
y=y<sub>0</sub>-at
هي جميع حلول المعادلة (1)(والمعادلة لها حل دوماً)

ملاحظة (2):لحل المعادلة (1) نبدأ بتعيين القاسم المشترك الأعظم للعددين a,b
ثم كتابته كتركيب خطي لهما ومن ثم نعين حلول المعادلة (1).

حسام محمد
23-07-2007, 07:07 AM
تمارين

تمرين (1): عين جميع حلول المعادلة 172x+20y=1000 إن وجدت ؟

مها خالد
23-07-2007, 12:43 PM
172x+20y=1000
نعين القاسم المشترك الاعظم للعديين 20 ,172 هو العدد 4
حل خاص نضع س=0 ====>>ص=50
الحل س = 0+ 20t/4
س= 5t
ص= 50- 172t/4
ص= 50 - 43t

حسام محمد
23-07-2007, 09:42 PM
172x+20y=1000
نعين القاسم المشترك الاعظم للعديين 20 ,172 هو العدد 4
حل خاص نضع س=0 ====>>ص=50
الحل س = 0+ 20t/4
س= 5t
ص= 50- 172t/4
ص= 50 - 43t
حل صحيح ... بارك الله فيك ,

تجدر الملاحظة أنه يمكن الحصول على الحل الخاص بالتجريب أو باتباع خوارزمية إقليدس كما يلي :

12+20×8=172
8+12×1=20
4+8×1=12
0+4×2=8
ومنه : 4=(172,20) = d

نلاحظ أن 4 يقسم 1000 إذاً للمعادلة حل لإيجاد الحل نكتب :
=(12-20)-12=8-12=4
20-(20×8-172)2=20-12×2
20(17-)+(172)2=4
ومنه:
[20(17-)+172×2]250=250×4=1000
20×(4250-)+172×(500)=
أي:
y<sub>0</sub>=-4250 , x<sub>0</sub>=500
والحل الكامل للمعادلة :
x=500+20t/4=500+5t
y=-4250-172t/4=-4250-43t

واضح أن هذه الطريقة أطول وأصعب لكنها الخوارزمية العامة لحل أي معادلة
يصعب تعيين حلها الخاص .

حسام محمد
23-07-2007, 09:45 PM
تمارين إضافية :

عين حلول كل من المعادلات التالية إن وجدت :

6x+51y=22
7x+9y=5
56x+72y=40
24x+138y=18
221x+91y=117
84x-438y=165
30x+17y=300
158x-57y=7
54x+21y=906
123x+360y=99
2x+11y=5
18x-21y=15
2x+12y=6

laila245
24-07-2007, 02:24 AM
سلام عليكم

شكراً لك أستاذ حسام على هذا المجهود المفيد والرائع

حل المعادلة :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0106889001185227582.png

لايجاد القاسم المشترك الأعظم :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0950642001185228042.png

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0544383001185228098.png

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0138139001185228162.png

إذن القاسم المشترك الأعظم هو 8 وهو يقسم 40

وبما أن :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0606900001185228480.png

إذن :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0950660001185228680.png

إذن الحل الخاص هو :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0591275001185228943.png

والحل العام هو :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0872523001185229207.png

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0231875001185229870.png

uaemath
24-07-2007, 07:43 AM
la245:clap::clap::clap:

على استخدام مدرج الرموز ، مشاركة انيقة :p:


:ty:للأستاذ حسام محمد على الموضوع :t: