برهن:يوجد شكل واحد لكتابة دالة لمتغير حقيقي

[سيد أمين]

السلام عليكم و رحمة الله
سؤالي هو
برهن بانه يوجد شكل وحيد لكتابة دالة لمتغير حقيقي على شكل مجموع دالتيين الأولى فردية و الأخري زوجية أي
f(x)=p(x)+i(x)
حيث
p(x) زوجية
i(x)فردية

[omar]

وعليكم السلام ورحمة الله

برهن بانه يوجد شكل وحيد لكتابة دالة لمتغير حقيقي على شكل مجموع دالتيين الأولى فردية و الأخري زوجية أي
f(x)=p(x)+i(x) حيث p(x) زوجية و i(x) فردية

نفترض إمكانية كتابة دالة f بهذه الكيفية .

لدينا إذن : f(x) = p(x) + i(x) ولتكن المتساوية 1 .

إذن باستعمال كون p زوجية و i فردية f( - x) = p( - x) + i( - x) = p(x) - i(x) ولتكن المتساوية 2 .

بجمع المتساويتين 1 و 2 ينتج : p(x) = \frac{1}{2}\left( {f(x) + f( - x)} \right)

وبطرح المتساويتين 1 و2 ينتج : i(x) = \frac{1}{2}\left( {f(x) - f( - x)} \right)

عكسيا يمكن التأكد أن لكل دالة f الدالتين p و i المعرفتين ب : p(x) = \frac{1}{2}\left( {f(x) + f( - x)} \right) و i(x) = \frac{1}{2}\left( {f(x) - f( - x)} \right) الأولى زوجية والثانية فردية ومجموعهما يساوي الدالة f .

[سيد أمين]

السلام عليكم و رحمة الله
بعد التجربة نلاحظ بان هذا محقق من أجل الدوال التي يكون مجال تعريفها متناظر بالنسبة للصفر . هعلى سبيل المثال الدالة اللوغارتمية لا يمكن كتابتها على الشكل السابق لان مجال تعريفها غير متناظر.