سؤالين محيرين: بين أن جذر6 عدد غير جذرى؟

[imad_7]

1 - بين ان :
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0722481001185650170.png

2- قدمت تلميذة تحريرا لكي تجد أ ن : ....0.999=1
نعتبر العدد الحقيقي a بحيث ...0.999=a
إ ذن ...9.999=10a
و منه 9=10a-a
إذن : 9=9a
a=1
أ ي : ...0.999 =1
آ كتشف الخطأ الذي آرتكبته هذه التلميذة.

[omar]

جواب المسألة الأولى :

لنبين أن العدد \sqrt{6} لا ينتمي إلى مجموعة الأعداد الجذرية \mathbb Q .

من أجل ذلك سنفترض العكس إذن يوجد عددين اوليان فيما بينهما a و b بحيث \sqrt{6}= \frac{a}{b} .

بتربيع الطرفين نتوصل إلى أن a^2 = 6 b^2 ومنه a^2 عدد زوجي إذن a زوجي أيضا أي a = 2k .
بالتعويض في المتساوية الأخيرة نجد أن 3b = 2k^2 إذن العدد 3 يقسم 2 k^2 وحيث أن 2 أولي مع 3 فإن 2 يقسم العدد b .
توصلنا إذن إلا ان العددين a و b زوجيان معا اي يقبلان القسمة على 2 وهذا متناقض مع كونهما أوليان فيما بينهما .
وبالتالي الإفتراض خاطئ والصواب هو \sqrt{6} لاينتمي إلى مجموعة الأعداد الجذرية \mathbb Q .

جواب الشطر الثاني من الشؤال الأول .

نفترض أن \sqrt{2}+\sqrt{3} لاينتمي إلى مجموعة الأعداد الجذرية \mathbb Q .
إذن نكتب \sqrt{2}+\sqrt{3}=\frac {a}{b} حيث a و b عددان صحيحان أوليان فيمابينهما .
بتربيع الطرفين نتوصل إلى أن \sqrt{6}= \frac {a^2-5b^2} {2b^2} .
وبما أن العددان a و b صحيحان فإن \frac{a^2-5b^2}{2b^2} عدد جذري ( نسبي بالنسبة لأهل المشرق ) ومنه \sqrt{6} ينتمي إلى \mathbb {Q} وهذا غير صحيح حسب مااثبثناه سابقا .
وبالتالي النتيجة المرجوة .

[omar]

المسألة الثانية :

لاأرى أي خطأ في استدلال التلميذة بشرط أن الكتابة 1= 0.9999.... فيها مالانهاية من التسعات .

ويمكن إثبات ذلك بطريقة أخرى باستعمال المتتاليات الهندسية

0.99999...= 0.9+0.09+0.009+......

وهذا مجموع لانهائي من حدود متتابعة هندسية حدها الأول 0.9 وأساسها 0.1

إذن 0.99999....= \frac {0.9}{1 - 0.1}

أي 0.9999.....= \frac {0.9}{0.9}=1

[imad_7]

الله ينورك و يبارك فيك استادنا العزيز عمر :ty::ty::ty:

[laila245]

سلام عليكم

في السؤال الثاني :

عند ضرب الطرفين في 10 ينتج أن :

9.99 = 10 a

أي : تسعتين يمين الفاصلة و ليس 3 تسعات

[omar]

سلام عليكم

في السؤال الثاني :

عند ضرب الطرفين في 10 ينتج أن :

9.99 = 10 a

أي : تسعتين يمين الفاصلة و ليس 3 تسعات

مادام أن هناك مالانهاية من التسعات يمين الفاصلة فلا يهم أن نكتب تسعة واحدة او تستعتين أو ثلاث أو أربع .....

[laila245]

أعتذر أخ عمر...

لم أنتبه إلى النقط التي في السؤال والتي يُقصد بها عدد لا نهائي من التسعات

[uaemath]

صحيح أخي عمر ، و أضيف :

أن كل الكسور العشرية غير المنتهية (Infinite Decimal Fraction)

مثل .............. 0.9999999

تتضمن سلسلة منتهية (Convergent Series ) تنتهي إلى مجموعها

.............. 0.9999999 تنتهي إلى 1 ( Converges to 1 )

و بعض الكتب يكتبون ببساطة : 1 = .............. 0.9999999

و كذلك http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0638786001185815848.png= .............. 0.33333333