متباينة 10.

[ياسين]

aوb عددان حقيقيان موجبان .
بين ان http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0185734001185722595.png
تضنن النتيجة في حالة تلات أعداد موجبة.

[omar]

مسألة جميلة ولقد سبق لك أن عرضت تقريبا نفس المسألة منذ مدة !!!!

إليك الحل :

لدينا : \frac{a+b}{1+a+b}=\frac{a}{1+a+b}+\frac{b}{1+a+b} ولتكن العلاقة 1

وبما أن 1+a+b \ge 1+a و ايضا 1+a+b \ge 1+b فإن \frac{1}{1+a+b}\le \frac{1}{1+a} و \frac{1}{1+a+b}\le \frac{1}{1+b}

ومنه \frac{a}{1+a+b}\le \frac{a}{1+a} و \frac{b}{1+a+b}\le \frac{b}{1+a} .

بجمع المتفاوتتين الأخريتين نجد أن \frac{a}{1+a+b} + \frac{b}{1+a+b} \le \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b} ولتكن العلاقة 2

من 1 و 2 نستنتج أن \frac{a+b}{1+a+b}\le \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b} وهو المطلوب .

الآن يمكنك العودة من جديد إلى مسألة مشابهة وتحلها بسهولة !

تحياتي.

[ياسين]

مسألة جميلة و حل أجمل شكرا مجددا أستاذ _عمر_
اضن ان النتيجة في حالة n عدد ستكون
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0138799001186142593.png
تحياتي