برهن أن:2/جذر2 ×2/جذر(2+جذر2) × .... = ط/2

[امام مسلم]

بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_14726562.bmp

[omar]

نعتبر المتتالية (u_n) المعرفة ب :

\Large \{{u_{n+1}=\sqrt{\frac{1+u_n}{2}}\atop u_1=\frac{\sqrt{2}}{2}}\

لدينا إذن : u_2=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\frac{\s qrt{2+\sqrt{2}}}{2}

وأيضا بالمثل : u_3=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}

إذن المطلوب هو إثبات المتساوية \Large \prod\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{u_n }}} = \frac{\pi }{2}

واضح أن u_1 = \cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right) و u_2 = \cos \left( {\frac{\pi }{8}} \right)

سنبين بالترجع (الإستقراء الرياضي ) أن u_n = \cos \left( {\frac{\pi }{{2^{n + 1} }}} \right) لكل عدد صحيح طبيعي غير منعدم n .

المتساوية محققة من أجل n=1 .

نفترض أن u_n = \cos \left( {\frac{\pi }{{2^{n + 1} }}} \right)

باستعمال المتطابقة 1 + \cos \left( x \right) = 2\cos ^2 \left( {\frac{x}{2}} \right) نجد بسهولة أن u_{n+1} = \cos \left( {\frac{\pi }{{2^{n + 2} }}} \right)

لدينا من جهة أخرى \Large \frac{1}{{u_n }} = \frac{1}{{\cos \left( {\frac{\pi }{{2^{n + 1} }}} \right)}} = \frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{{2^{n + 1} }}} \right)}}{{\cos \left( {\frac{\pi }{{2^{n + 1} }}} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{{2^{n + 1} }}} \right)}} = \frac{{2\sin \left( {\frac{\pi }{{2^{n + 1} }}} \right)}}{{\sin \left( {\frac{\pi }{{2^n }}} \right)}}

و لدينا \Large \prod\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{u_n }}} = \ {\lim }\limits_{n \to \infty } \prod\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{u_k }}}

إذن :
\Large \prod\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{u_n }}} = {\lim }\limits_{n \to \infty } \prod\limits_{k = 1}^n {\frac{{2\sin \left( {\frac{\pi }{{2^{k + 1} }}} \right)}}{{\sin \left( {\frac{\pi }{{2^k }}} \right)}}} = \ {\lim }\limits_{n \to \infty } 2^n \sin \left( {\frac{\pi }{{2^{n + 1} }}} \right) ={\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{{2^{n + 1} }}} \right)}}{{\frac{\pi }{{2^{n + 1} }}}}\frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{2}

لأن {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1

وهذا هو المطلوب .

لدي طريقة أخرى هندسية لاتختلف كثيرا عن هذه لكنها أجمل قد أكتبها حين يكون عندي الوقت لرسم بعض الأشكال .

في الأخير أشير أن هذه الصيغة الجميلة تسمى صيغة François Viète نسبة للعالم الفرنسي François Viète .

http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_54252930.jpg

[سيد كامل]

استاذ عمر نتعلم منك الكثير
استاذ امام لا تغب عنا كثيرا فكل حرف تكتبه فيه اضافة لنا

[امام مسلم]

شكراً لهذه المشاركه المتميزه أخى وصديقى أ0 عمر
شكراً لذوقك وطيب كلامك أخى الغالى أ0 سيد كامل
ودائماً موجود بعون الله