نهاية

[laila245]

أوجد :

\red\LARGE{\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sin ^2 (x^3 + x^2 + x - 3)}}{{1 - \cos (x^2 - 4x + 3)}}

[mohey]

حا2 ( س3 + س2 + س - 3 )
نهـــــا ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـ × (س3 + س2 + س - 3 ) 2
س ـــ 1 (س3 +س2 + س -3 ) 2
ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــ
2 حا2 ( س2 - 4س +3 )
نها ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ــــ × ( س2 - 4 س + 3 )2
س ـــــ 1 (س2 - 4 س + 3 )2
(س - 1 )2 ( س2 + 2س + 3 )2
= 1/2 × ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ــــــــ
(س - 1 )2 ( س - 3 )2
36
= 1/2 × ـــــــــــــــــ = 9/2
4

نأسف لضعف الكتابة وطبعا أنتم اساتذة تدركون ما أكتب

[laila245]

شكراً لك أخ mohey وبارك الله فيك

الطريقة صحيحة فقط نسيت أن تقسم على 2 عند استخدام المتطابقة :

1 - جتا س = 2 جتا² (س/2)

حيث أن :

\red\LARGE\cos 2x = 1 - 2\sin ^2 x\quad \Rightarrow \quad 1 - \cos 2x = 2\sin ^2 x\quad \Rightarrow \quad 1 - \cos x = 2\sin ^2 \frac{x}{2}

وهذا الحل بصورة واضحة :

\LARGE {\lim }\limits_{x \to 1} x\frac{{\sin ^2 (x^3 + x^2 + x - 3)}}{{1 - \cos (x^2 - 4x + 3)}} = \ {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sin ^2 (x^3 + x^2 + x - 3)}}{{2\sin ^2 \left( {\frac{{x^2 - 4x + 3}}{2}} \right)}}

=\Large {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{{\sin (x^3 + x^2 + x - 3)}}{{x^3 + x^2 + x - 3}}} \right)^2 \times \frac{1}{2}\left( {\frac{{\frac{{x^2 - 4x + 3}}{2}}}{{\sin \frac{{x^2 - 4x + 3}}{2}}}} \right)^2 \times \left( {\frac{{x^3 + x^2 + x - 3}}{{\frac{{x^2 - 4x + 3}}{2}}}} \right)^2

= \Large {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{{\sin (x^3 + x^2 + x - 3)}}{{x^3 + x^2 + x - 3}}} \right)^2 \times \frac{1}{2}\left( {\frac{{\frac{{x^2 - 4x + 3}}{2}}}{{\sin \frac{{x^2 - 4x + 3}}{2}}}} \right)^2 \times 4\left( {\frac{{(x - 1)(x^2 + 2x + 3)}}{{(x - 1)(x - 3)}}} \right)^2

\LARGE = 1 \times \frac{1}{2} \times 4 \times \left( {\frac{6}{{ - 2}}} \right)^2 = \red 18

[wassimoss]

يا سلام انه حل ذكي يا عبقري.