نظام

[omar]

من تمارين أولمبياد المغرب لسنة 1998 هذا التمرين :

حدد جميع الأعداد الحقيقية \huge x و \huge y التي تحقق النظام التالي :


\huge \{{\sqrt{y-x^2}+\sqrt{x-y^2}=1\atop 16(x^2y^2-x^3-y^3+xy)=1}\

[laila245]

سلام

\Large 16(x^2 y^2 - y^3 - x^3 + xy) = 1\quad \Rightarrow \quad \sqrt {x^2 y^2 - y^3 - x^3 + xy} = \frac{1}{4}

\Large\sqrt {y - x^2 } + \sqrt {x - y^2 } = 1

\Large \Rightarrow y - x^2 + x - y^2 + 2\sqrt {yx - y^3 - x^3 + x^2 y^2 } = 1

\Large \Rightarrow 2\sqrt {yx - y^3 - x^3 + x^2 y^2 } = x^2 + y^2 - x - y + 1

\Large \Rightarrow x^2 + y^2 - x - y + 1 = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

\Large \Rightarrow x^2 + y^2 - x - y + \frac{1}{2} = 0

\Large \Rightarrow (x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2},y = \frac{1}{2}

[yousuf]

ماشاء الله حل رائع

[majdss]

هاي الأسئلة صعبة على طلاب المدارس و احنا حابين نشارك معكم و يا ريت تحطوا اسئلة على مستوانا على شان نشارك معكم و شكرا

[اشرف محمد]

اعتقد ان المقدار في الخطوة الاولى
كان ينبغي مساواته ايضا ب -1\4
رغم انه سيرفض لان الاعداد حقيقية