عددان مجموعهما 1 وحاصل ضربهما 1 أوجد مجموع :

[ابوسليمان]

عددان مجموعهما 1 وحاصل ضربهما 1 .
اوجد مجموع مكعبيهما؟

[مجدى الصفتى]

العددان هما س ، ص
س + ص = 1 ، س ص = 1
مجموع مكعبيهما = س^3 + ص^3
س^3 + ص^3 = ( س + ص ) ( س^2 - س ص + ص^2 )
س^3 + ص^3 = ( س + ص ) ( ( س + ص )^2 - 3 س ص )
س^3 + ص^3 = 1 × ( 1 - 3 × 1 ) = - 2

[omar]

نفس حل الأخ مجدي

ليكن a و b عددين حقيقين يحققان شروط المسألة أي a+b=1 و ab=1

المطلوب هو حساب a^3+b^3 .

لدينا : a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)

إذن : a^3+b^3=(a+b)((a+b)^2-3ab)

وبالتالي النتيجة : a^3+b^3=1 \times (1-3)=-2

[laila245]

وهذا حل آخر :

\Large x + y = 1\quad \cdots (1)

\Large xy = 1\quad \quad \cdots (2)

بتكعيب طرفي المعادلة ( 1 ) :

\Large x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3 = 1\quad \cdots (3)

بضرب المعادلة الأولى في الثانية :

\Large x^2 y + xy^2 = 1\quad \Rightarrow \quad 3x^2 y + 3xy^2 = 3

بالتعويض في ( 3 ) :

\Large x^3 + 3 + y^3 = 1\quad \Rightarrow \quad x^3 + y^3 = - 2

[uaemath]

ظريفة :clap:

\large \bf x+y = 1
\large \bf xy = 1


\large \bf x^3 + y^3 = ?

\large \bf x^3 + y^3 = (x+y )(x^2 -xy + y^2 )

لدينا قيمة x+y و xy ، ينقصنا قيمة x² + y²

\large \bf (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy

\large \bf 1 = x^2 + y^2 + 2(1)

\large \bf x^2 + y^2 = - 1


\large \bf x^3 + y^3 = (x+y )(x^2 -xy + y^2 )

\large \bf x^3 + y^3 = (1 )(-1-1 ) =-2

طريقة اخرى ، نوجد العددين :

بما ان مجموعهما و حاصل ضربهما معطيان ، يكونان عبارة عن جذور المعادلة :

z² - z +1 = 0

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0477625001187196339.png

إذا :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0868277001187196419.png

الآن بدلا من إيجاد x³ + y³

نعوّض في \large \bf x^3 + y^3 = (x+y )(x^2 -xy + y^2 )

أو نحوّل العددين إلى الشكل المثلثي :

أي عدد تخيلي a + ib ، يمكن كتابته على الشكل المثلثي

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0415157001187196994.png(r , θ)

حيث :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0899524001187196837.png

الآن :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0446384001187197256.png
بالنسبة لـ y :
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0758878001187197745.png
بالنسبة لـ x :
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0868259001187198628.png

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0212065001187199382.png

حسب قاعدة ديموفوار :
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0571386001187199516.png

x³ + y³ =

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0446392001187198960.png

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0883876001187199110.png

[mohey]

العددان المركبان هما - اميجا ، - اميجا2 مجموعهما = 1 وحاصل ضربهما = 1 ، ومجموع مكعبيهما = - اميجا3 - اميجا6 = -1 -1 = -2

[as7000]

هل هذه الإجابات تصلح لهذا السؤال

http://www.arabruss.com/uploaded/53577/1244629813.gif