متفاوتة 18

[ياسين]

السلام عليكم
aوbوc أعداد حقيقية موجبة قطعا
بين ان
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0129862001187450415.png
:confused:

[mathson]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
حاول بكل جهدي و نبهني إن أخطأت:
\frac{a}{{\sqrt {b^2 + \frac{{bc}}{4} + c^2 } }} + \frac{b}{{\sqrt {c^2 + \frac{{ca}}{4} + a^2 } }} + \frac{c}{{\sqrt {a^2 + \frac{{ab}}{4} + b^2 } }} \ge 2
بجمع البسط في كل كسر نجد :
\Leftrightarrow 4\left( {\frac{a}{{\sqrt {4b^2 + bc + c^2 } }} + \frac{b}{{\sqrt {4c^2 + ca + a^2 } }} + \frac{c}{{\sqrt {4a^2 + ab + b^2 } }}} \right) \ge 2
بقسمة الطرفين على 4:
\Leftrightarrow \frac{a}{{\sqrt {4b^2 + bc + c^2 } }} + \frac{b}{{\sqrt {4c^2 + ca + a^2 } }} + \frac{c}{{\sqrt {4a^2 + ab + b^2 } }} \ge \frac{1}{2}
من متفاوتة جنسن :
af(4b^2 + bc + c^2 ) + bf(4c^2 + ca + a^2 ) + cf(4a^2 + ab + b^2 ) \ge (a + b + c)f\left( {\frac{{a(4b^2 + bc + c^2 ) + b(4c^2 + ca + a^2 ) + c(4a^2 + ab + b^2 )}}{{a + b + c}}} \right)
بأخذ الطرف الأيسر و تبسيطه نجد أن:
\frac{{(a + b + c)\sqrt {a + b + c} }}{{\sqrt {a(4b^2 + bc + c^2 ) + b(4c^2 + ca + a^2 ) + c(4a^2 + ab + b^2 )} }} \ge \frac{1}{2}
بضرب الطرفين في الوسطين ثم تربيعهما:
\Leftrightarrow 4(a + b + c)^3 \ge 4ab^2 + abc + ac^2 + 4bc^2 + abc + a^2 b + 4a^2 c + abc + b^2 c
والآن التبسيط:
\Leftrightarrow 4a^3 + 4b^3 + 4c^3 + 12a^2 b + 12ab^2 + 12b^2 c + 12bc^2 + 12a^2 c + 12ac^2 + 24abc \ge 4ab^2 + abc + ac^2 + 4bc^2 + abc + a^2 b + 4a^2 c + abc + b^2 c
\Leftrightarrow 4a^3 + 4b^3 + 4c^3 + 11a^2 b + 8ab^2 + 11b^2 c + 8bc^2 + 8a^2 c + 11ac^2 + 21abc \ge 0
وهي عبارة صحيحة ، ومنها يتحقق المطلوب .
أشر علي إن أخطأت و أشكرك لأنك أرشدتني و علمتني علم المتفاوتات...
حقا إن علم المتفاوتات جميل

[ياسين]

اهلا اخي MATHSON

عند جمع البسط في كل مقام الا ينبغي ان يكون \frac{a}{\sqrt{4b^2+bc+\blue{4}c^2}}

لاحض 4c^2

[mathson]

صحيح كلامك أخي ياسين شكرا لك
على العموم هو لن يؤثر في الحل الحمد لله

[ياسين]

شيء اخر 4 عندما تخرج من الجدر الا يجب ان تساوي 2

[mathson]

حسنا مع هذه الأخطاء الكثيرة و الكبيرة
يجب أن أعيد النظر مرة أخرى ... آآآآآه لا بأس

[mohamedegm]

مجهود مشكور