متفاوتة 20.

[ياسين]

aوbوc أعداد حقيقية موجبة قطعا
بين ان
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0903771001187453085.png

[omar]

باستخدام مبرهنة Cauchy-Schwarz نجد :

(2a^2 + b^2 )(2a^2 + c^2 ) = (a^2 + a^2 + b^2 )(a^2 + a^2 + c^2 ) \ge (aa + ab + ac)^2

إذن : (2a^2 + b^2 )(2a^2 + c^2 ) \ge a^2 (a + b + c)^2

ومنه : \frac{1}{{(2a^2 + b^2 )(2a^2 + c^2 )}} \le \frac{1}{{a^2 (a + b + c)^2 }}

ومنه نجد : \frac{{a^3 }}{{(2a^2 + b^2 )(2a^2 + c^2 )}} \le \frac{{a^3 }}{{a^2 (a + b + c)^2 }} = \frac{a}{{(a + b + c)^2 }}


وبالمثل نتوصل إلى : \frac{{b^3 }}{{(2b^2 + c^2 )(2b^2 + a^2 )}} \le \frac{b}{{(a + b + c)^2 }}

وأيضا : \frac{{c^3 }}{{(2c^2 + b^2 )(2c^2 + a^2 )}} \le \frac{c}{{(a + b + c)^2 }}

الآن بجمع المتفاوتات الثلاث الأخيرة نجد :

\frac{{a^3 }}{{(2a^2 + b^2 )(2a^2 + c^2 )}} + \frac{{b^3 }}{{(2b^2 + c^2 )(2b^2 + a^2 )}} + \frac{{c^3 }}{{(2c^2 + b^2 )(2c^2 + a^2 )}} \le \frac{a}{{(a + b + c)^2 }} + \frac{b}{{(a + b + c)^2 }} + \frac{c}{{(a + b + c)^2 }}

ومنه : \frac{{a^3 }}{{(2a^2 + b^2 )(2a^2 + c^2 )}} + \frac{{b^3 }}{{(2b^2 + c^2 )(2b^2 + a^2 )}} + \frac{{c^3 }}{{(2c^2 + b^2 )(2c^2 + a^2 )}} \le \frac{{a + b + c}}{{(a + b + c)^2 }}

وبالتالي : \frac{{a^3 }}{{(2a^2 + b^2 )(2a^2 + c^2 )}} + \frac{{b^3 }}{{(2b^2 + c^2 )(2b^2 + a^2 )}} + \frac{{c^3 }}{{(2c^2 + b^2 )(2c^2 + a^2 )}}\, \le \,\frac{1}{{a + b + c}}

[ياسين]

:ty::ty::ty::ty::ty::ty::ty::ty::ty::ty::ty::ty::
اخي _عمر_ دائما طريقتك في الحل جميلة
تحياتي لك :t: