من أوليمبياد أمريكى:ظا7س- جا6س= جتا4س- ظتا7س

[امام مسلم]

بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
هذا التمرين وجدته فى الأولمبياد الأمريكى 2007
بالفعل جميــــــــــــــــل
http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_71516114.bmp

حل المعادلة :

tan7x - sin6x = cos4x - cot7x

[yousuf]

الحين يدخل احد العباقرة ويحل المعادلة الصعبة

[uaemath]

هي فعلا جميلة و لكن لا تحتاج لعبقرية :

tan7x - sin6x = cos4x - cot7x

\huge \frac{sin7x}{cos7x} - sin6x = cos4x - \frac{cos7x}{sin7x}

\huge \frac{sin7x}{cos7x} + \frac{cos7x}{sin7x} = sin6x + cos4x

\huge \frac{sin^2 7x + cos^2 7x}{cos7xsin7x} = sin6x + cos4x

بما أن :

sin² 7x + cos² 7x = 1

sin14x = 2sin7x cos7x

\huge \frac{2}{sin14x} = sin6x + cos4x

\huge sin14x(sin6x + cos4x)=2

معروف أن : \huge -1\leq sinx \leq1

و \huge -1\leq cosx \leq1

الآن لتكون العبارة صحيحة ، يجب أن يتحقق :

sin6x = sin14x = cos4x = 1

أو sin6x = sin14x = cos4x =- 1

الحالة الاولى :

cos4x = 1 = cos0

\huge 4x = 0 + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{k\pi}{2}

لأن \huge 0\prec x\prec 2\pi

\huge x = \left[ 0,\frac{\pi}{2} , \pi , \frac{3\pi}{2}\right]

و لكن لكل هذه القيم الأجزاء الاخرى من المعادلة لا تتحقق :

\huge sin14x = sin6x=0 \neq 1

الحالة الثانية :

cos4x = -1

\huge x\in\left[\frac{\pi}{4} ,\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\righ t]

الثانية و الرابعة لا يحققان sin14x = sin6x = -1 ، إذ انهما يساويان = 1

الأولى و الثالثة يحققان sin14x = sin6x = -1

إذن الحلول الوحيدة هي :

\huge x= \frac{\pi}{4} , x = \frac{5\pi}{4}

[امام مسلم]

شكراً لك أستاذ uaemath
الابن يوسف شكراً لمرورك

[yousuf]

ماشاء الله حل عبقري+_^

[حسين5236]

مشكور على هذا المجهود الرائع و المفيد

[نصري]

السؤال مش مفهوم ما هو المطلوب ؟
هل هو حل المعادلة ام المطلوب اثبات متطابقة
الصورة غير ظاهرة
ارجو التوضيح