متفاوتة .

[ياسين]

aوbوcوdوeأعداد حقيقية
بين ان
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0410142001187634839.png
متى يكون التساوي ؟

[omar]

باستعمال AM-GM inequality :

a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 \ge 2a\sqrt {b^2 + c^2 + d^2 + e^2 }

ولتكن هذه المتفاوتة 1

مع وجود التساوي إذا كان a^2 = b^2 + c^2 + d^2 + e^2

ومن جهة أخرى باستخدام RMS-AM inequality :

\sqrt {\frac{{b^2 + c^2 + d^2 + e^2 }}{4}} \ge \frac{{b + c + d + e}}{4} مع وجود التساوي إذا كان b=c=d=e

إذن : 2a\sqrt {b^2 + c^2 + d^2 + e^2 } = 4a\sqrt {\frac{{b^2 + c^2 + d^2 + e^2 }}{4}} \ge a(b + c + d + e)

ولتكن هذه المتفاوتة 2

من المتفاوتتين 1 و 2 نتوصل إلى المطلوب : a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 \ge a(b + c + d + e)

ويكون التساوي إذا وفقط إذا كان : \Large \{{a^2 = b^2 + c^2 + d^2 + e^2\atop b=c=d=e}\

أي : \Large \{{a^2 = 4b^2 \atop b=c=d=e}\

وبالتالي : \Large b=c=d=e= \frac{a}{2}

[ياسين]

thank you اخي عمر حل جميل .
تحياتي لك