المساعد الشخصي الرقمي

مشاهدة النسخة كاملة : مفاهيم رياضية(2) : ثابت التكامل


uaemath
20-08-2007, 10:44 PM
السلام عليكم ،

من المعلوم انه ممكن ان يكون للتكامل أكثر من جواب و لكنهم واحد(أو يختلفون

في عدد ثابت ) بعد التلاعب بالقواعد ، لإزاحة الغموض حول ثابت التكامل لننظر إلى المثال التالي:

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0731875001185106875.png

يمكن حل هذا التكامل البسيط بطريقتين و هنا تظهر المشكلة :

الطريقة الأولى باستخدام قاعدة التكامل مباشرة :

\huge \frac{1}{2}\int{\frac{dx}{x}}= \frac{1}{2}ln\left|x \right|+ C


الطريقة الثانية باستخدام التعويض t = 2x , dt = 2 dx

\huge \frac{1}{2}\int{\frac{dx}{x}}=\frac{1}{2}\int{\fra c{dt}{t}}= \frac{1}{2}ln\left|t \right|+ K = \frac{1}{2}ln\left|2x \right|+K

هل ترون المشكلة الآن ، قمنا بتكامل نفس الدالة و حصلنا على جوابين

مختلفين ، كيف ذلك ؟

لاحظوا أولا أن استخدام طريقتين لا يعني ان الثابت واحد و لذلك استخدمت

ثابتين مختلفين : C , K

لنأخذ ثانيا الجواب الثاني ، باستخدام قواعد اللوغاريتمات :

\huge \frac{1}{2}ln\left|2x \right|+K = \frac{1}{2}(ln2 + ln\left|x \right|)+K=\frac{1}{2}ln\left|x \right|+\frac{1}{2}ln2 + K

لاحظوا أن الجوابين ليسا مختلفين على الإطلاق ، في الحقيقة هما يفرقان

عن بعضهما في ثابت ، حيث يمكن استنباط العلاقة :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0185008001185108545.png

و هذا عائد للقاعدة التالية :

إذا كان لدالتين مشتقة واحدة فإنهما يختلفان عن بعضهما بعدد ثابت :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0231884001185108703.png

و هذا بالضبط ما حصل ، الدالتان :

\huge \frac{1}{2}ln\left|2x \right| , \frac{1}{2}ln\left|x \right|

لهما نفس المشتقة بالضبط

و عليه استخدام عدة طرق في حل نفس التكامل قد

يعطي ثوابت تكامل مختلفة (و في بعض الاحيان نفس الثابت)

مثال آخر \huge \int{sinx cosx dx}

الطريقة الاولى

باستخدام العلاقة : sin2x = 2sinxcosx

\huge \int{sinx cosx dx}= \frac{1}{2}\int{sin2x dx}= \frac{-1}{4}cos2x + c_{1}

الطريقة الثانية

باستخدام التعويض : u = cosx , du = - sinx dx

\huge \int{sinx cosx dx}= - \int{u du}= \frac{-u^2}{2} + c_{2}= \frac{-1}{2} cos^2 x+ c_{2}

الطريقة الثالثة

باستخدام التعويض مرة أخرى : u = sinx , du = cosx dx

\huge \int{sinx cosx dx}=\int{u du}= \frac{u^2}{2} + c_{3}= \frac{1}{2}sin^2 x+ c_{3}

إذن حصلنا على ثلاثة أجوبة و لكننا نعلم أنها تختلف بـ ثابت لأن لها نفس

المشتقة ، لرؤية ذلك نحتاج لبعض التلاعب بالقواعد :

لنبدأ بالجواب الأول :

بما أن : cos2x = cos<sup>2</sup> x - sin<sup>2</sup> x

\huge \frac{-1}{4}cos2x + c_{1}= \frac{-1}{4}(cos^2 x - sin^2 x)+ c_{1}

الآن نستبدل : sin<sup>2</sup> x = 1 - cos<sup>2</sup> x

يصبح الجواب :

\huge \frac{-1}{4}(cos^2 x - (1-cos^2 x)+ c_{1}= \frac{-1}{4}(2cos^2 x -1)+c_{1}= \frac{-1}{2}cos^2 x + \frac{1}{4}+ c_{1}

بالمقارنة مع الجواب الثاني ، نجد أن :

\huge c_{2}= \frac{1}{4}+c_{1}

بإمكاننا عمل نفس الشيء لربط الجوابين الاول و الثالث :

\huge \frac{-1}{4}cos2x + c_{1}= \frac{-1}{4}(cos^2 x - sin^2 x)+ c_{1}

الآن نستبدل : cos<sup>2</sup> x = 1 - sin<sup>2</sup> x

يصبح الجواب :

\huge \frac{-1}{4}(1-sin^2 x - sin^2 x) + c_{1}= \frac{-1}{4}(1 - 2sin^2 x)+c_{1}= \frac{1}{2}sin^2 x + \frac{-1}{4}+ c_{1}

بالمقارنة مع الجواب الثالث ، نجد أن :

\huge c_{3}= \frac{-1}{4}+c_{1}

امام مسلم
21-08-2007, 01:33 AM
أخى الأستاذ uaemath
دائماً موضوعاتك ناريه " نيران صديقه"
كما قال أحد الأخوه من قبل فى عنوان موضوع له

الســيف
21-08-2007, 02:06 AM
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته


دائماً أنت مميز أخي uaemath

وفعلاً نحن مدينين لك بما تقدم لنا من معلومات وفوائد جميلة ورااااااااائعة.

Mr.KSA
21-08-2007, 06:01 PM
يعطيك العافيه استاذنا الفاضل



تحياتي لك

uaemath
22-08-2007, 06:00 PM
شكرا إخواني امام مسلم ، السيف ، حمودي

تشرفنا بمروركم الكريم


تحياتي

هيام
24-08-2007, 04:11 PM
شكرا ، موضوع مهم و لافت

و القليل ينتبه له :ty:

CAAPOO
18-10-2007, 10:13 PM
الموضوووع بصراحة اكثر من رائع والف شكر علي الافادة

نعيمة111
26-02-2008, 06:39 PM
الحمد الله على هذا
شكر على الموضوع مهمممممممممممممم

new pilot
25-03-2008, 02:32 AM
جزاك الله خير

بس لو ان الشغلة ب س و ص كان فهمنا أكثر..

بالرك الله فيك

ebdaa
04-04-2008, 07:34 PM
شكررررررررررررررررررررا
الله يبارك في جهودك

mathson
08-04-2008, 09:48 PM
يا سلام
هذي المواضيع و لا بلاش

badrdine
25-05-2008, 10:02 AM
thank you very much master

hesham
13-02-2009, 08:37 PM
أستاذي uaemath
كما عهدناك دائما مبدع وإبداعاتك ثريه ومفيدة للجميع
جزاك الله كل خير

engmohamedfarhat
27-04-2009, 06:42 AM
100 100

mido_kik
12-05-2009, 01:42 AM
شكرا لك

الدلتا
15-05-2009, 09:33 PM
اخي العزيزuaemath

مجهود يستحق الشكر

الفراطسة
01-07-2009, 12:56 PM
بارك اللهُ فيك وفي عائلتك أستاذي العزيز ووفقك الله للخير دائماً
أخوك الفراطسة