uaemath
20-08-2007, 10:44 PM
السلام عليكم ،
من المعلوم انه ممكن ان يكون للتكامل أكثر من جواب و لكنهم واحد(أو يختلفون
في عدد ثابت ) بعد التلاعب بالقواعد ، لإزاحة الغموض حول ثابت التكامل لننظر إلى المثال التالي:
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0731875001185106875.png
يمكن حل هذا التكامل البسيط بطريقتين و هنا تظهر المشكلة :
الطريقة الأولى باستخدام قاعدة التكامل مباشرة :
\huge \frac{1}{2}\int{\frac{dx}{x}}= \frac{1}{2}ln\left|x \right|+ C
الطريقة الثانية باستخدام التعويض t = 2x , dt = 2 dx
\huge \frac{1}{2}\int{\frac{dx}{x}}=\frac{1}{2}\int{\fra c{dt}{t}}= \frac{1}{2}ln\left|t \right|+ K = \frac{1}{2}ln\left|2x \right|+K
هل ترون المشكلة الآن ، قمنا بتكامل نفس الدالة و حصلنا على جوابين
مختلفين ، كيف ذلك ؟
لاحظوا أولا أن استخدام طريقتين لا يعني ان الثابت واحد و لذلك استخدمت
ثابتين مختلفين : C , K
لنأخذ ثانيا الجواب الثاني ، باستخدام قواعد اللوغاريتمات :
\huge \frac{1}{2}ln\left|2x \right|+K = \frac{1}{2}(ln2 + ln\left|x \right|)+K=\frac{1}{2}ln\left|x \right|+\frac{1}{2}ln2 + K
لاحظوا أن الجوابين ليسا مختلفين على الإطلاق ، في الحقيقة هما يفرقان
عن بعضهما في ثابت ، حيث يمكن استنباط العلاقة :
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0185008001185108545.png
و هذا عائد للقاعدة التالية :
إذا كان لدالتين مشتقة واحدة فإنهما يختلفان عن بعضهما بعدد ثابت :
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0231884001185108703.png
و هذا بالضبط ما حصل ، الدالتان :
\huge \frac{1}{2}ln\left|2x \right| , \frac{1}{2}ln\left|x \right|
لهما نفس المشتقة بالضبط
و عليه استخدام عدة طرق في حل نفس التكامل قد
يعطي ثوابت تكامل مختلفة (و في بعض الاحيان نفس الثابت)
مثال آخر \huge \int{sinx cosx dx}
الطريقة الاولى
باستخدام العلاقة : sin2x = 2sinxcosx
\huge \int{sinx cosx dx}= \frac{1}{2}\int{sin2x dx}= \frac{-1}{4}cos2x + c_{1}
الطريقة الثانية
باستخدام التعويض : u = cosx , du = - sinx dx
\huge \int{sinx cosx dx}= - \int{u du}= \frac{-u^2}{2} + c_{2}= \frac{-1}{2} cos^2 x+ c_{2}
الطريقة الثالثة
باستخدام التعويض مرة أخرى : u = sinx , du = cosx dx
\huge \int{sinx cosx dx}=\int{u du}= \frac{u^2}{2} + c_{3}= \frac{1}{2}sin^2 x+ c_{3}
إذن حصلنا على ثلاثة أجوبة و لكننا نعلم أنها تختلف بـ ثابت لأن لها نفس
المشتقة ، لرؤية ذلك نحتاج لبعض التلاعب بالقواعد :
لنبدأ بالجواب الأول :
بما أن : cos2x = cos<sup>2</sup> x - sin<sup>2</sup> x
\huge \frac{-1}{4}cos2x + c_{1}= \frac{-1}{4}(cos^2 x - sin^2 x)+ c_{1}
الآن نستبدل : sin<sup>2</sup> x = 1 - cos<sup>2</sup> x
يصبح الجواب :
\huge \frac{-1}{4}(cos^2 x - (1-cos^2 x)+ c_{1}= \frac{-1}{4}(2cos^2 x -1)+c_{1}= \frac{-1}{2}cos^2 x + \frac{1}{4}+ c_{1}
بالمقارنة مع الجواب الثاني ، نجد أن :
\huge c_{2}= \frac{1}{4}+c_{1}
بإمكاننا عمل نفس الشيء لربط الجوابين الاول و الثالث :
\huge \frac{-1}{4}cos2x + c_{1}= \frac{-1}{4}(cos^2 x - sin^2 x)+ c_{1}
الآن نستبدل : cos<sup>2</sup> x = 1 - sin<sup>2</sup> x
يصبح الجواب :
\huge \frac{-1}{4}(1-sin^2 x - sin^2 x) + c_{1}= \frac{-1}{4}(1 - 2sin^2 x)+c_{1}= \frac{1}{2}sin^2 x + \frac{-1}{4}+ c_{1}
بالمقارنة مع الجواب الثالث ، نجد أن :
\huge c_{3}= \frac{-1}{4}+c_{1}
من المعلوم انه ممكن ان يكون للتكامل أكثر من جواب و لكنهم واحد(أو يختلفون
في عدد ثابت ) بعد التلاعب بالقواعد ، لإزاحة الغموض حول ثابت التكامل لننظر إلى المثال التالي:
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0731875001185106875.png
يمكن حل هذا التكامل البسيط بطريقتين و هنا تظهر المشكلة :
الطريقة الأولى باستخدام قاعدة التكامل مباشرة :
\huge \frac{1}{2}\int{\frac{dx}{x}}= \frac{1}{2}ln\left|x \right|+ C
الطريقة الثانية باستخدام التعويض t = 2x , dt = 2 dx
\huge \frac{1}{2}\int{\frac{dx}{x}}=\frac{1}{2}\int{\fra c{dt}{t}}= \frac{1}{2}ln\left|t \right|+ K = \frac{1}{2}ln\left|2x \right|+K
هل ترون المشكلة الآن ، قمنا بتكامل نفس الدالة و حصلنا على جوابين
مختلفين ، كيف ذلك ؟
لاحظوا أولا أن استخدام طريقتين لا يعني ان الثابت واحد و لذلك استخدمت
ثابتين مختلفين : C , K
لنأخذ ثانيا الجواب الثاني ، باستخدام قواعد اللوغاريتمات :
\huge \frac{1}{2}ln\left|2x \right|+K = \frac{1}{2}(ln2 + ln\left|x \right|)+K=\frac{1}{2}ln\left|x \right|+\frac{1}{2}ln2 + K
لاحظوا أن الجوابين ليسا مختلفين على الإطلاق ، في الحقيقة هما يفرقان
عن بعضهما في ثابت ، حيث يمكن استنباط العلاقة :
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0185008001185108545.png
و هذا عائد للقاعدة التالية :
إذا كان لدالتين مشتقة واحدة فإنهما يختلفان عن بعضهما بعدد ثابت :
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0231884001185108703.png
و هذا بالضبط ما حصل ، الدالتان :
\huge \frac{1}{2}ln\left|2x \right| , \frac{1}{2}ln\left|x \right|
لهما نفس المشتقة بالضبط
و عليه استخدام عدة طرق في حل نفس التكامل قد
يعطي ثوابت تكامل مختلفة (و في بعض الاحيان نفس الثابت)
مثال آخر \huge \int{sinx cosx dx}
الطريقة الاولى
باستخدام العلاقة : sin2x = 2sinxcosx
\huge \int{sinx cosx dx}= \frac{1}{2}\int{sin2x dx}= \frac{-1}{4}cos2x + c_{1}
الطريقة الثانية
باستخدام التعويض : u = cosx , du = - sinx dx
\huge \int{sinx cosx dx}= - \int{u du}= \frac{-u^2}{2} + c_{2}= \frac{-1}{2} cos^2 x+ c_{2}
الطريقة الثالثة
باستخدام التعويض مرة أخرى : u = sinx , du = cosx dx
\huge \int{sinx cosx dx}=\int{u du}= \frac{u^2}{2} + c_{3}= \frac{1}{2}sin^2 x+ c_{3}
إذن حصلنا على ثلاثة أجوبة و لكننا نعلم أنها تختلف بـ ثابت لأن لها نفس
المشتقة ، لرؤية ذلك نحتاج لبعض التلاعب بالقواعد :
لنبدأ بالجواب الأول :
بما أن : cos2x = cos<sup>2</sup> x - sin<sup>2</sup> x
\huge \frac{-1}{4}cos2x + c_{1}= \frac{-1}{4}(cos^2 x - sin^2 x)+ c_{1}
الآن نستبدل : sin<sup>2</sup> x = 1 - cos<sup>2</sup> x
يصبح الجواب :
\huge \frac{-1}{4}(cos^2 x - (1-cos^2 x)+ c_{1}= \frac{-1}{4}(2cos^2 x -1)+c_{1}= \frac{-1}{2}cos^2 x + \frac{1}{4}+ c_{1}
بالمقارنة مع الجواب الثاني ، نجد أن :
\huge c_{2}= \frac{1}{4}+c_{1}
بإمكاننا عمل نفس الشيء لربط الجوابين الاول و الثالث :
\huge \frac{-1}{4}cos2x + c_{1}= \frac{-1}{4}(cos^2 x - sin^2 x)+ c_{1}
الآن نستبدل : cos<sup>2</sup> x = 1 - sin<sup>2</sup> x
يصبح الجواب :
\huge \frac{-1}{4}(1-sin^2 x - sin^2 x) + c_{1}= \frac{-1}{4}(1 - 2sin^2 x)+c_{1}= \frac{1}{2}sin^2 x + \frac{-1}{4}+ c_{1}
بالمقارنة مع الجواب الثالث ، نجد أن :
\huge c_{3}= \frac{-1}{4}+c_{1}