متفاوتة س ع ص

[مقران]

لتكن س.ع.ص ثلاثة اعداد حقيقية موجبة تماما تحقق :
س+ع+ص=س ع ص
برهن ان من اجل كل عدد حقيقي ز>0فان:
س ^ز+ع ^ز+ص ^ز>او=3^(ز+2)/2:flame::flame::flame:

نص المسألة بالرموز العالمية :

\Large x و \Large y و \Large z أعداد حقيقية موجبة قطعا بحيث \Large x+y+z=xyz .

بين أن لكل عدد حقيقيي موجب قطعا \Large t لدينا \Large x^t+y^t+z^t \ge 3^{\frac{t+2}{2}}

[omar]

نص المسألة بالرموز العالمية :

\Large x و \Large y و \Large z أعداد حقيقية موجبة قطعا بحيث \Large x+y+z=xyz .

بين أن لكل عدد حقيقيي موجب قطعا \Large t لدينا \Large x^t+y^t+z^t \ge 3^{\frac{t+2}{2}}

المسألة بسيطة يكفي استخدام متفاوتة الوسط الحسابي والهندسي .

[مقران]

لم افهم ارجو ان تحلها لي يا صديقي

[omar]

باستخدام متفاوتة الوسط الحسابي والهندسي لثلاثة أعداد : \Large x+y+z \ge 3(xyz)^{\frac{1}{3}}

وبما أن\Large xyz=x+y+z فإن \Large xyz \ge 3(xyz)^{\frac{1}{3}}


إذن : \Large (xyz)^{\frac{2}{3}} \ge 3

ومنه : \Large xyz \ge 3^{\frac{3}{2}} ولتكن هذه المتفاوتة 1

من جهة أخرى وباستخدام دائما متفاوتة الوسط الحسابي والهندسي :

\Large x^t + y^t + z^t \ge 3\sqrt[3]{{x^t y^t z^t }}

أي : \Large x^t + y^t + z^t \ge 3(xyz)^{\frac{t}{3}}

وباستخدام المتفاوتة 1 نتوصل إلى : \Large x^t + y^t + z^t \ge 3 \times (3^{\frac{3}{2}} )^{\frac{t}{3}}

وبالتالي : \Large x^t + y^t + z^t \ge 3 \times 3^{\frac{t}{2}} = 3^{\frac{{t + 2}}{2}}

[مقران]

فعلا اشكرك على اهتمامك بالتمرين
ساعطيك تمرينا اخرا اسمه "مربع = مثلث"بالبرتقال