متباينة قيمة مطلقة

[omar]

السلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته

أثبت أن :

\mid \: \sqrt{x^2+y^2} \:- \:\sqrt{y^2+z^2} \:\mid\: \le\: \mid \: x-z \: \mid

حيث x و y و z أعدادا حقيقية .

[tanx]

السلام عليكم
بتربيع الطرفين
س^2+ع^2- 2س ع >= س^2+2ص^2+ ع^2 -2 جذر(س^2 *ص^2 + س^2*ع^2+ص^4 +ص^2* ع^2)
بعد الاختصار ينتج
جذر(س^2 *ص^2 + س^2*ع^2+ص^4 +ص^2* ع^2) >= ص^2+س ع
بتربيع الطرفين ينتج :

(س^2 *ص^2 + س^2*ع^2+ص^4 +ص^2* ع^2)>= ص^4 +س^2*ع^2 +2 ص^2 *س *ع
بعد الاختصار ينتج :
س^2 + ع^2 >= 2س ع
س^2+ ع^2 - 2س ع>= 0
(س-ع)^2>= 0 وهذا يكافئ المطلوب

[omar]

السلام عليكم ورحة الله تعالى وبركاته .
أشكرك على هذه المشاركة الطيبة .
طريقتي في الحل مختلفة جدا عن طريقتك ...
يكفي ملاحظة أن المتباينة يمكن كتابتها على الشكل : \mid \: OA-OB \: \mid \: \le \: AB وذلك باختيار مناسب للنقطتين A , B .
O هي أصل المعلم الديكارتي .
وهذه المتباينة دائما صحيحة .