الرابعة

[m-e-m]

المعادلة الاولى

الفكرة تعتمد على ايجاد الاعداد التى تجعل ماتحت الجذر مربع كامل

ثم التعويض واختار ما يصلح

9س2 +160س +800 = ص2
بالضرب في 9 واكمال المربع


81س2+1440س+7200=9ص2

(9س+80)2 +800 = 9ص2

9ص2 -(9س2 +80)2=800

(3ص+9س+80)(3ص-9س-80)=800

نفرض ان القوس الاول =ك

3ص+9س+80=ك

3ص-9س-80=800\ك

بالجمع والطرح لايجاد س و ص

ص =(ك2 +800)\(6ك)

س=(ك2 -160ك -800)\(18ك)

نلاحظ ان ك احد عوامل 800

ويمكن ان تكون

±1او ±800 او ±2 او ±400 او ±4او±200 او ±8 او ±100او ±10او
±40 او ±20 او ±5 او ±160


جميع الاعداد تعطى مربعات كاملة كسرية معدا الاتى يعطى اعداد صحيحة

ك = -200 -> س = 2 -> ص = ±34
ك = -80 -> س = -5 -> ص = ±15
ك = -50 -> س = -7 -> ص = ±11
ك = -20 -> س = -10 -> ص = ±10
ك = -8 -> س = -14 -> ص = ±18
ك = -2 -> س = -31 -> ص = ±67

ك = 4 -> س = 2 ->ص = ±34
ك = 10 -> س = -5 -> ص = ±15
ك = 16 -> س = -7 -> ص = ±11
ك = 40 -> س = -10 -> ص = ±10
ك= 100 -> س = -14 ->ص = ±18
ك = 400 -> س = -31 -> ص = ±67


اذن قيم س فقط هي 2.-5 . -7.-10.-14.-13


نعوض في المعادلة الاصلية


مع اعتبار ان الناتج يتحقق في عدد ن من الدورات


ومع حذف ط من الطرفين


المعادلة


3س - جذر(9س2 +160 س +800) =16 ن

نعوض عن س =2

6 - 34 =16ن اذن ن =-28\16 لاتصلح

نعوض عن س =-5

المعادلة تصبح

-15-15=16ن اذن ن =كسر لاتصلح

عند س= -7
-21-11=16ن اذن ن =-2 تصلح

بالمثل لباقي القيم

القيمتين اللتى يتحقق عندها
س =-7

س=-31 وعندها -10 دورة

[m-e-m]

بسم الله الرحمن الرحيم
ن^(1\ن-7)

اولا عند ن تساوى 1 او 2 او 3 او 4 او 5 او 6

فان الناتج يعطى كسر ليس صحيحا

وعند ن =7 القسمة علي 0 لاتحقق

وعند ن =8 الناتج =8 تصلح

وعند ن =9 الناتج 3 تصلح


وعند ن =10 الناتج ليس صحيحا

وعند ن=11 الناتج ليس صحيحا

اذن يمكن ان تتحول الصورة الى الجذر النونى للعدد حيث دليل الجذر
=ن-7

ولكن

نلاحظ ان العدد والدليل الفرق بينهما دائما ثابت ويساوى 7

مثلا 10^(1\3) او 11^(1\4) او 12^(1\5) وهكذا الفرق دائما =7

حيث 10-3 =11-4=....=7

ولكن اصغر عدد صحيح يمكن اخراجه من الجذر الرابع هو 16


نلاحظ

16^(1\4) =2 الفرق بين العدد والدليل 12


وكذلك اقل عدد (خلاف الواحد طبعا) يمكن اخراجه من تحت الجذر الخامس هو 32


32^(1\5) =2 الفرق بين العدد والدليل 27

بالمثل 64^(1\6) =2

الفرق بين العدد والدليل =58

وهكذا

الفروق تكون متتابعة تزايدية

هذا بالنسبة لاصغر عدد يمكن اخراجه

اذن باقي الاعداد فروقها اكبر

لاحظ الفروق كالاتى

12 و 27 و 58 و121و.....

ولايمكن ان تصل الي 7 لانها تزايدية

اذن

ن = 8 ثم 9 فقط

[m-e-m]

مسالة التكامل

نحول س^6 الى داخل الجذر التكعيبر لتصبح س^18

ندخلها في التربيع لتصبح س^9

التكامل يتحول الى

(2س^-6 + س^-9 )^(2\3)


باخذ س^-6 مشترك
(س^-6 (2+ س-³ ))^(2\3) دس



(س^-4)(2+ س-³ )^(2\3) دس

نضع2+ س-³ =ص³

بالاشتقاق

-3س^-4 دس =3ص²دص
-س^-4 دس =ص² دص

(س^-4)(2+ س-³ )^(2\3) دس

(-ص²)(ص³)^(2\3)دص=-تكامل ص^4 دص

(-1\5)(ص^5)+ث=(-1\5)(2+س-³)^(5\3)+ث

[m-e-m]

المسالة تعتمد على نظرية

من نقطة على الدائرة الخارجة لاى مثلث اذا اسقط عمود على

كل ضلع من اضلاع المثلث او امتداتها فان مساقط هذه الاضلاع

تقع على استقامة واحدة




اذن نسقط عمود على اضلاع المثلث(B C D) الثلاثة

بما ان المثلثان (E N C) و(E C M) متساويا الساقين اذن الاعمدة تنصفها

والان نحاول اثبات ان النقطة (Q) التى هي مسقط العمود على الضلع الثالث
هى نفسها نقطة تقاطع قطري المتوازى (R)

حيث ان(k و O) منتصفي اضلاع المثلث (c N M ) اذن يوازى القاعدة L


و حيث ان ( Kو R) منتصفى ضلعى المثلث (C N A) اذن يوازى القاعدةl

R منتصف A C

اذن النقط K, O, Rعلى استقامة واحدة

اذن نقطة المنتصف Rتنطبق على نقطة المسقط Qعلى قطر المتوازى



اذن المثلث ( E B D) يكون متساوى الساقين

اذن الزاويتان الاتيتان متساويتان

E B D=E D B

المثلثان الاتيان يمكن تطبيقهما بضلع وزاويتان

K C E و O C E

حيث الزاويتان عند الراس متساويتان من الزاوية الخارجة

والزاوية المرسومة على القوس

اذن
C N =C M

من تساوى الساقين والتقابل بالراس الزوايا الاتية متساوية

D M A=N M C=C N M
من التبادل

D M A =M A B

اذن
الزاويتان الاتيتان متساويتان
C N M = B AM
اذن
B A M =M A D

وهو المطلوب

[uaemath]

س1 = 4 نقاط

س2 = 4 نقاط

س3 = 3 نقاط ،بعض الخطوات بحاجة لبرهان و البعض الآخر لتوضيح

س4 = 3 نقاط ، ناقص الحل ن = 1

:clap::clap::clap::clap: