متفاوتة جميلة.

[ياسين]

ليكن xوyوz اعداد حقيقية موجبة قطعا بحيث x + y + z = 1
برهن ان http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0073655001188933810.png.:)

[مجدى الصفتى]

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_78952637.jpg (http://www.eclasshome.com/attach)

[omar]

السلام عليكم .

حل جميل أخي مجدي وهذا حل آخر للمسألة .

لدينا تباعا :

(1 + \frac{1}{x})(1 + \frac{1}{y})(1 + \frac{1}{z}) = 1 + (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) + (\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}}) + \frac{1}{{xyz}}


(1 + \frac{1}{x})(1 + \frac{1}{y})(1 + \frac{1}{z}) = 1 + (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) + \frac{{z + x + y}}{{xyz}} + \frac{1}{{xyz}}


(1 + \frac{1}{x})(1 + \frac{1}{y})(1 + \frac{1}{z}) = 1 + (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) + \frac{1}{{xyz}} + \frac{1}{{xyz}}


(1 + \frac{1}{x})(1 + \frac{1}{y})(1 + \frac{1}{z}) = 1 + (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) + \frac{2}{{xyz}}

باستخدام متفاوتة الوسط الحسابي والهندسي لثلاثة أعداد (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{xyz}}}} = \frac{3}{{\sqrt[3]{{xyz}}}}

من جهة أخرى 1 = x + y + z \ge 3\sqrt[3]{{xyz}} إذن \frac{1}{{\sqrt[3]{{xyz}}}} \ge 3 وأيضا \frac{1}{{xyz}} \ge 27 .

إذن (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \ge \frac{3}{{\sqrt[3]{{xyz}}}} \ge 9 و \frac{2}{{xyz}} \ge 54 .

وبالتالي \Large (1 + \frac{1}{x})(1 + \frac{1}{y})(1 + \frac{1}{z}) \ge 1 + 9 + 54 = 64

[omar]

السلام عليكم .

يمكن أن نبرهن بسهولة أيضا أن إذا كان \Large x+y=1 فإن \Large (1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y}) \ge 9 بحيث \Large x و \Large y و \Large z أعداد موجبة .

وقد سبق عرضها هنا في المنتدى (http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?s=&threadid=2396)

ومن خلال هاتين المتفاوتتين الجميلتين بدا لي أنه يمكن التعميم

لذلك أقترح هذا التمرين :

ليكن \Large x_{1} و \Large x_{2} و ... و \Large x_{n} أعداد حقيقية موجية بحيث \Large x_1+x_2+...+x_n=1 .

برهن أن \Large (1+\frac{1}{x_1})(1+\frac{1}{x_2})...(1+\frac{1}{x _n}) \ge (n+1)^n

[ياسين]

شكرا لك اخي مجدي. و شكرا لك اخي عمر على الحل و على المتفاوتة الجميلة و الصعبة . سافكر فيها ان شاء الله ..
تحياتي