طلب : اثبات أن جذر2 عدد غير كسري

[رهام]

السلام عليكم ...

لو سمحتم انا اول مره اسجل بمنتدى لكن اتمنى اتمنى تساعدوني وماترودني بطلبي
بحكم اني اول سنه جامعه ابي احد يثبت لي التالي :

اثبتي ان جذر2 عدد غير كسري ؟؟
ارجوووووووووكم ساعدوني الليله

[zozo]

سلام أختي اليك الحل
افرض أن جذر 2 عدد نسبي و أن أ،ب عددان صحيحان ، القاسم المشترك الأكبر بينهما 1 حيث
جذر 2 =أ/ب،ب لا تساوي صفر
اذن 2 = أ تربيع/ب تربيع(وذلك بتربيع الطرفين)......(1)
اذن أ تربيع= 2 * ب تربيع وبالتالي فان أ تربيع عدد زوجي
اذن أ عدد زوجي لأن مربعه عدد زوجي
ولأن أ عدد زوجي فان أ=2ن حيث ن عدد صحيح
و بالتعويض في (1) ينتج أن
2=(4ن تربيع/ب تربيع) وبالتالي فان ب تربيع = 2ن تربيع اذب ب تربيع عدد زوجي ، وبما أن أوب عددان زوجيان اذن يوجد بينهما قاسم مشترك غير 1 وهو 2 وهذا يناقض الفرض اذن جذر 2 عدد غير كسري(غير نسبي).
أرجو أن أكون قد أفدتك
سلام

[رهام]

سلام أختي اليك الحل
افرض أن جذر 2 عدد نسبي و أن أ،ب عددان صحيحان ، القاسم المشترك الأكبر بينهما 1 حيث
جذر 2 =أ/ب،ب لا تساوي صفر
اذن 2 = أ تربيع/ب تربيع(وذلك بتربيع الطرفين)......(1)
اذن أ تربيع= 2 * ب تربيع وبالتالي فان أ تربيع عدد زوجي
اذن أ عدد زوجي لأن مربعه عدد زوجي
ولأن أ عدد زوجي فان أ=2ن حيث ن عدد صحيح
و بالتعويض في (1) ينتج أن
2=(4ن تربيع/ب تربيع) وبالتالي فان ب تربيع = 2ن تربيع اذب ب تربيع عدد زوجي ، وبما أن أوب عددان زوجيان اذن يوجد بينهما قاسم مشترك غير 1 وهو 2 وهذا يناقض الفرض اذن جذر 2 عدد غير كسري(غير نسبي).
أرجو أن أكون قد أفدتك
سلام

شكرا اخوي على شرحك وسرعة ردك علي لكن بصراحه مافهمت زين اقصد الاحداثيات أ و [ وتربيعهم ؟؟؟
لكن انا عندي قاعدة وتقول الدكتورة تطبق لأنتاج الاثبات وهي
2+I حيث ان I = جذر سالب واحد لكن وشلون اطبقها عجزت ..

بشكرك على تفاعلك معي واذا مرت عليك قبل هالقاعده ياليت توضحها لي

تقبل مني خالص الود

[zozo]

السلام عليكم
عذرا لعدم وضوح الحل ، سأحاول التوضيح أكثر
قصدت بتربيعهم أي تربيع كل من العددان أ،ب
أ،ب ليسا احداثيان بل عددان صحيحان يشكلان البسط و المقام لعدد نسبي، و الشرط أن ب وهو المقام لا يساوي صفر.
أعتقد أنه يوجد اختلاف في المصطلحات التي أستخدمها عن المصطلحات التي تستخدمينها ربما لاختلاف البلد، لكن أتمنى أن تستفيدي من الحل.
وفقك الله.

[uaemath]

شكرا zozo

هذه أمثلة مشابهة تم وضعها بواسطة المشرف العام الاستاذ omar :

لنبين أن العدد \sqrt{6} لا ينتمي إلى مجموعة الأعداد الجذرية \mathbb Q .

من أجل ذلك سنفترض العكس إذن يوجد عددين اوليان فيما بينهما a و b بحيث \sqrt{6}= \frac{a}{b} .

بتربيع الطرفين نتوصل إلى أن a^2 = 6 b^2 ومنه a^2 عدد زوجي إذن a زوجي أيضا أي a = 2k .
بالتعويض في المتساوية الأخيرة نجد أن 3b = 2k^2 إذن العدد 3 يقسم 2 k^2 وحيث أن 2 أولي مع 3 فإن 2 يقسم العدد b .
توصلنا إذن إلا ان العددين a و b زوجيان معا اي يقبلان القسمة على 2 وهذا متناقض مع كونهما أوليان فيما بينهما .
وبالتالي الإفتراض خاطئ والصواب هو \sqrt{6} لاينتمي إلى مجموعة الأعداد الجذرية \mathbb Q .

جواب الشطر الثاني من السؤال الأول .

نفترض أن \sqrt{2}+\sqrt{3} لاينتمي إلى مجموعة الأعداد الجذرية \mathbb Q .
إذن نكتب \sqrt{2}+\sqrt{3}=\frac {a}{b} حيث a و b عددان صحيحان أوليان فيمابينهما .
بتربيع الطرفين نتوصل إلى أن \sqrt{6}= \frac {a^2-5b^2} {2b^2} .
وبما أن العددان a و b صحيحان فإن \frac{a^2-5b^2}{2b^2} عدد جذري ( نسبي بالنسبة لأهل المشرق ) ومنه \sqrt{6} ينتمي إلى \mathbb {Q} وهذا غير صحيح حسب مااثبثناه سابقا .
وبالتالي النتيجة المرجوة .

[رهام]

:)
السلام عليكم ...
اول شي احب اشكركم على مساعدتكم لي والحمدلله فهمت المسألة كويس ويارب ياخذ بأيديكم للخير ويجزاكم خير الجزاء

تقبلوا خالص تقديري
اختكم رهام