معادلات تفاضلية (الجزء1)

[أيمن ديان]

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

سأبدأ بطرح بعض المعادلات التفاضلية وستكون متدرجة من السهل إلى الصعب

ربما يحتاج الأمر لطرحه في أكثر من موضوع لذلك كان العنوان

معادلات تفاضلية (الجزء1)

وربما أراد البعض طرح معادلات تفاضلية في نفس هذا الموضوع

فمن أراد ذلك فعليه أولا ً حل المعادلة المطروحة بشكل سليم ثم يقوم بطرح

معادلته على أن تكون بنفس مستوى المعادلة التي قام بحلها من ناحية الصعوبة

ومن لا يريد طرح معادلة ولديه حل للمعادلة المطروحة فليقم بالحل وأنا سأطرح

معادلة أخرى للحل إن شاء الله

وفي حال وجود أكثر من مشاركة لحل نفس المعادلة

فسيكون الإهتمام بأول مشاركة (أي بالسؤال المطروح في أول مشاركة محلولة)

وفي حال عدم الحل سيقوم طارح السؤال بحله خلال اسبوع من الطرح

والله المستعان

المعادلة الأولى:

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_29809570.png

[مجدى الصفتى]

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_35485840.jpg (http://www.eclasshome.com/attach)

[ppu]

السلام عليكم موضوع رائع بانتظار السؤال القادم

[أيمن ديان]

السلام عليكم

مشكور أخ مجدي على الحل

ومشكورة أخت ppu على المرور الكريم

السؤال الثاني :

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_11362304.png

[ppu]

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_50839844.doc

:yea::yea::yea:

[ppu]

السلام عليكم تعديل المشاركة السابقة

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_68374024.bmp

[أيمن ديان]

السلام عليكم

شكرا ً أخت ppu على هذا الحل :

حل المعادلة التي ذكرتيها هو كالتالي :

\huge\frac{dy}{dx}=\frac{2x+xy^2}{3y+x^2y}\;\right arrow\;\frac{dy}{dx}=\frac{x(2+y^2)}{y(3+x^2)}\\\\ \frac{y\,dy}{2+y^2}=\frac{x\,dx}{3+x^2}\;\rightarr ow\,\frac{2y\,dy}{2+y^2}=\frac{2x\,dx}{3+x^2}\\\\l n(2+y^2)=ln(3+x^2)\;+c\\\\2+y^2=(3+x^2).e^c\\\\2+y ^2=k(3+x^2)

أما المعادلة الجديدة فهي :

\huge\frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{x+y}

[ppu]

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_75415039.bmp

[أيمن ديان]

السلام عليكم

شكرا ً جزيلا ً اخت ppu على هذا الحل الرائع :

اود ان اشير الى طريقة ثانية كما يلي :

\huge\frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{x+y}\;\rightarrow\;x\,dy+y\,dy=x\,dx-y\,dx\\\,\\\,\\\,\\\,\\\,\\\,x\,dy+y\,dx+y\,dy-x\,dx=0\\\,\\\,\\\,\\\,\\\,\\\,xy+\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{2}=c

[أيمن ديان]

أما بالنسبة لمعادلتك فحلها كما يلي :

\huge(16x+9y)y\,dx+(8x+18y)x\,dy=0\\\,\\\,M=(16x+9 y)y\,\rightarrow\frac{\partial\,M}{\partial\,y}=18 y+16x\\\,\\\,\\\,N=(8x+18y)x\,\rightarrow\frac{\pa rtial\,N}{\partial\,x}=18y+16x

وبما أن :

\huge\frac{\partial\,M}{\partial\,y}=\frac{\partia l\,N}{\partial\,x}

فالمعادلة تامة :ويكون

\huge\int\,M\,dx=8x^2\,y+9x\,y^2\\\,\\\,\int\,N\,d y=8x^2\,y+9x\,y^2

نضع الآن النتيجة بدون تكرار الحدود المتشابهة:

\huge8x^2\,y+9x\,y^2=c

وهو حل المعادلة التفاضلية

الآن المعادلة التفاضلية الجديدة :

\huge\frac{dy}{dx}=\frac{y^2-2x}{2xy}

[ppu]

السلام عليكم
رائع على هذا الحل أخ أيمن كما عودتنا دائما الحل المتميز والمتكامل مشكوررررر جدا
حل سؤالك هو:-
\frac{dy}{dx}=\frac{y^2-2x }{2xy}\\2xydy=y^2dx-2xdx\\\frac{2y}{X^2}dy-\frac{y^2 }{X^2}dx=\frac{-2dx}{x}\\d\frac{y^2 }{X^2}=\frac{-2dx}{x}\\y^2=-2X^2lnx

اما المعادلة الجديدة

\frac{dy}{dx}=\frac{y^2+X^2 }{2xy}

[ppu]

السلام عليكم
بعد ما وضعت المشاركة وتأملت فيها وجدت خطأ والان اليكم التعديل
والرجاء اعذروني:-


\huge\frac{dy}{dx}=\frac{y^2-2x}{2xy}\\\,\\\,\\2xydy=y^2dx-2xdx\\\,\\\,\\\frac{2ydy}{x}-\frac{y^2dx}{x^2}=\frac{-2dx}{x}\\\,\\\,\\d(\frac{y^2}{x})=\frac{-2dx}{x}\\\,\\\,\\\frac{y^2}{x}=-2lnx+c

والمعادلة الجديدة هي:-

\huge\frac{dy}{dx}=\frac{y^2+x^2}{2xy}

:wave::wave:

[yousuf]

انا اتمنى اني اتعلم المعادلات التفاضلية

[أيمن ديان]

الأخ يوسف

شكرا ً على مرورك الكريم

لاحظ لو ان هناك معادلة من الشكل :

\huge\,y^2=x^3 ثم فاضلناها ستصبح بالشكل :

\huge\,2y\,dy=3x^2\,dx او بالشكل :


\huge\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2}{2y} تسمى هذه معادلة تفاضلية

أما العودة بخطوات معاكسة لما سبق والوصول الى المعادلة الأصلية هي خطوات

حل المعادلة التفاضلية

وهناك كتب كثيرة عن المعادلات التفاضلية وطرق حلها

[أيمن ديان]

شكرا ً جزيلا ً اخت ppu على الحل الر ائع

اما بالنسبة لمعادلتك فيمكن حلها بطريقتين :

الاولى هي :

\huge2xy\,dy=y^2\,dx+x^2\,dx\\\,\\\,\\2xy\,dy-y^2\,dx=x^2\,dx\\\,\\\,\\\,\\\frac{2xy\,dy-y^2\,dx}{x^2}=dx\\\,\\\,\\d(\frac{y^2}{x})=dx\\\,\ \\,\\\frac{y^2}{x}=x+c\\\,\\\,\\y^2=x^2+c\,x

[أيمن ديان]

الطريقة الثانية :

\huge(x^2+y^2)dx-2xy\,dy=0\\\;\\\;\\M=x^2+y^2\,\rightarrow\frac{\pa rtial\,M}{\partial\,y}=2y\\\;\\\;\\N=-2xy\,\rightarrow\frac{\partial\,N}{\partial\,x}=-2y\\\;\\\;\\\frac{\partial\,M}{\partial\,x}\ne\fra c{\partial\,N}{\partial\,y}\,\rightarrow\frac{\par tial\,M}{\partial\,x}-\frac{\partial\,N}{\partial\,y}=4xy

الآن نقسم هذا المقدار على\huge\,Nثم نكامل ونضع الناتج قوة للعدد e كما يلي:

\huge\frac{4y}{-2xy}=\frac{-2}{x}\,\rightarrow\int\frac{-2}{x}dx=ln\,\frac{1}{x^2}\\\;\\\;\\\;\\\rightarrow \;e^{ln\,\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{x^2}

هذا المقدار يسمى عامل التكميل، فإذا ضربناه بطرفي المعادلة الأصلية أصبحت تامة

ونتابع بعدها نفس خطوات الطريقة الأولى المذكورة في المشاركة السابقة

الآن المعادلة الجديدة هي :

\huge\frac{dy}{dx}=sin\,x\;(cos\,2y\,-cos^2\,y)

[شنفرى]

ونتابع بعدها نفس خطوات الطريقة الأولى المذكورة في المشاركة السابقة مقتبس

من قولك


لم أر في السابقة طريقة لحل المعادلة التامة


نرجو الايضاح أو التصريح بالإحالة لكتب محددة تبين طريقة الحل


شخصياً أعرف ولكن البيان مهم جداً

[أيمن ديان]

شكرا ً جزيلا ً أخ شنفري على الملاحظة :

ومع ان الطريقة ذكرت بالمشاركات 8 ، 10 إلا اني سأتابع الحل عسى ان تكون الفائدة أكبر

بعد ضرب معامل التكميل بطرفي المعادلة تصبح :

\huge\frac{x^2+y^2}{x^2}\,dx+\frac{-2xy}{x^2}\,dy=0\\\;\\\;\\\;\\(1+\frac{y^2}{x^2})\; dx\,+\frac{-2y}{x}\;dy\;=0\\\;\\\;\\\;\\\int(1+\frac{y^2}{x^2} )\;dx=x-\frac{y^2}{x}

طبعا ً هنا المكاملة كانت بالنسبة لـ x وقد اعتبرنا y ثابت

وأيضا ً هنا سنعتبر x ثابت وستكون المكاملة بالنسبة لـ y

\huge\int\frac{-2y}{x}\;dy=-\frac{y^2}{x}

الآن بدمج الحلين السابقين مع مراعاة عدم تكرار الحدود المتشابهة يكون الحل :

\huge\,x-\frac{y^2}{x}=k\;\rightarrow\;\frac{y^2}{x}=x-k\\\;\\\;\\\;\\\frac{y^2}{x}=x+c

حيث k ثابت و َ c=-k

وفي النهاية :

\huge\,y^2=x^2 +c\,x

الآن المعادلة الجديدة نفس الواردة سابقا ً وهي :

\huge\frac{dy}{dx}=sin\,x\;(cos\,2y\,-cos^2\,y)

[ppu]

السلام عليكم
مشكور أخ أيمن على الحل الواضح والرائع للمعادلة السابقة وشكرا لك على توضيح المشاركة واليك حل سؤالك الأخير:-



\frac{dy}{dx}=sinx(cos2y-cos^2y)\\\frac{dy}{cos2y-cos^2y}= sinxdx\\\frac{dy}{cos^2y-sin^2y-cos^2y}=sinxdx\\\frac{dy}{-sin^2y }=sinxdx\\-csc^2y=sinxdx\\coty=cosx+c

وأما المعادلة الجديدة فهي:
\frac{dy}{dx}=5y

حظا طيبا :wave::wave:

[mobile3008]

dy/5y=dx
int(dy/5y)=int(dx)
5ln(y)=x+c
اذا ما كنت مخطء
انا أخذت هذه الماده عام 1994
يعني من شي 13 سنه
هههههههههههههههههه
يعني لسه عندي شي بسيط
مع العلم انا تخصصي هندسة كهربائية

[suha2]

انت موقفين لهون ليه ??

[suha2]

دي مسأله جديدة:Xy⁴dx+(y²+2)e^-3xdy=0

[أيمن ديان]

صارت المسألة واضحة بعد التعديل

شكرا ً

سيأتي الحل بأقرب وقت ان شاء الله

[suha2]

انت رحت لوين استاذ ايمن ؟؟
المسألة بسيطة وإلها طريقتين للحل

[gody]

مشكوووووووووووووورين ونتمنى المزيد ونريد شرح لو امكن عن بقية مادة المعادلات التفاضلية

[suha2]

xy⁴dx+(y²+2)e^-3xdy=0
solution:
xy⁴dx=-(y²+2)e^-3xdy

x dx/e^-3x=-(y²+2)dy/y⁴

xe^3x dx=[(-1/y²)-(2/y⁴)]dy

int xe^3x dx=int[(-1/y²)-(2/y⁴)]dy
........................................
int xe^3x dx:
from u dv=uv-int v du

u=x
du=dx
dv=e^3x dx
v=int e^3x dx=(1/3) e^3x
int u dv=uv-int v du =(1/2)x e^3x-(1/3)*int e^3x dx

ok it is=(1/3)x e^3x-(1/9)e^3x
.................................
naw -int(y^-2+2y^-4)dy=(1/y)+(2y^-³/3

in final (1/3)x e^3x-(1/9)e^3x=(1/y)+(2/3y³)+c
general solution

[nour_al_islam]

كيفية استخدام المتسلسلات في حل المعدلات التفاضلية
ارجوكم بسرعة انا طالب علوم اريد بحثا

[بحر العلم]

اريد كتب عن المعادلات التفاضليه لاني لاأفهم شيئا في هذه الماده الصعبه
ارجو المساعده..........

[أيمن ديان]

عذرا ً لكل مهتم بالموضوع

أعتذر جدا ً عن التأخر بسبب الظروف

الحقيقة ياأخ موبايل

رغم أنك قلت أن المعادلة سهلة

فإنك للأسف أخطأت بالحل مع أنه لا يجب أن تخطأ فيه

وهناك شيء آخر :

الخط الذي تكتب فيه غير مفهوم اطلاقا ً

فلماذا لا تتعلم لغة اللاتيكس قبل المشاركة بأي حل

أشكرك على مرورك الكريم والمشاركة وسأقوم بتصحيحيها :

\huge\frac{dy}{dx}=5y\;\;\rightarrow\;\frac{dy}{y} =5\;dx\;\rightarrow\;ln\,y=5x+c

[حنين حنين]

السلام عليكم اشكر جهودكم جميعا ولكن لدي سؤال هل كل معادلة تفاضلية من الرتبة الاولى قابلة لفصل المتغيرات هي معادلة تفاضلية تامة ارجو البرهان
ومششششششششششششششششكورين

[أيمن ديان]

أرجو المعذرة من الاخوة والاخوات الذين لم استطع تلبية طلباتهم

وسنتابع مع معادلات تفاضلية أخرى :

المعادلة الجديدة هي :

\huge\,(x^2-y^2)\;dx\,+2xy\,dy=0

[ppu]

السلام عليكم
مشكور اخ ايمن لعودتك للموضوع الرائع الذي انتظرناه طويلا
وحل معادلتك هو على النحو التالي

\huge(x^2-y^2)dx+2xydy=0\\\frac{dy}{dx}=\frac{y^2-x^2 }{2xy}\\y=vx\\\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}\\\fra c{dy}{dx}=\frac{v^2x^2-x^2 }{2xvx}\\=\frac{x^2(v^2-1) }{2x^2v }\\v+x\frac{dv}{dx}=\frac{v^2-1}{2v}\\x\frac{dv}{dx}=\frac{v^2-1-2v^2 }{2v}\\=\frac{-1-v^2}{2v}\\\frac{2v}{v^2+1}dv=-\frac{dx}{x} \\ln(v^2+1)=-lnx+lnc\\ln(x(1+v^2))=lnc\\x(1+v^2)=c\\x(\frac{x^2 +y^2}{x^2})=c\\x^2+y^2=cx

اتمنى ان يكوووون حلي واضح وصحيح

والمعادلة الجديدة سأضعها لاحقا
دمتم بخييييييييييير
:t::t::t::t:

[ppu]

لسلام عليكم
المعادلة الجديدة هي

x^4dy+(3x^2y-x^3)=0

أمنيات التوفييييييييييييييق للجميع
:wave::wave::wave::wave::wave::wave:

[مصطفي الشاهد]

السلام عليكم
الحل هو
[[y[x] = Sqrt[c x - 2 x Log[x
و

[[y[x] =- Sqrt[c x - 2 x Log[x
حيث sqrt ترمز للجذر التربيعي
هذا وبالله التوفيق

[ka521]

وعليكم السلام
مشكورين على الجهد
الله يجعله في موازين حسناتكم وحسنات والديكم