محمد على القاضى
19-10-2007, 03:11 AM
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
اثبت أن :
2^ن > = 2ن حيث ن عدد صحيح موجب
إليك طريقتين :
الأولى :
باستخدام الترجع (الاستقراء ) :
خطوة الأساس : العلاقة صحيحة عند n=1
خطوة الترجع : افرض أن العلاقة صحيحة عند n
لذا :
2 <sup>n+1</sup> = 2 . 2 <sup>n</sup> >= 2 (2n) > 2n : n > 0
الطريقة الثانية :
عندما n=1,2 النتيجة واضحة ، عندما n >2 :
2^n = (1 + 1)^n = \left( \begin{array}{c} n \\ n \\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} n \\ n - 1 \\ \end{array} \right) + \cdots + \left( \begin{array}{c} n \\ 1 \\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} n \\ 0 \\ \end{array} \right) = P(n) + \left( \begin{array}{c} n \\ 1 \\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} n \\ n - 1 \\ \end{array} \right) = P(n) + 2n \ge 2n
حيث P(n)>0 عندما n>2