برهن أن المقدار زوجي ... مضاعف للعدد 3

[مخالفية بلال]

ن عدد طبيعي نضع أ=ن(ن مربع +5)
برهن أن أ عدد زوجي
برهن أن أ مضاعف للعدد 3


جزاكم الله خيرا

[laila245]

إذا كانت :

\LARGE a = n(n^2 + 5),n \in N

برهن أن \LARGE a عدد زوجي

الحالة الأولى :

بأخذ \LARGE n عدد زوجي فإن \LARGE n يمكن أن يكتب بالصورة : \LARGE n = 2k

وبالتالي فإن :

\LARGE a = n(n^2 + 5) = 2k(4k^2 + 5)

وهذا المقدار عدد زوجي

الحالة الثانية :

بأخذ \LARGE n عدد فردي فإن \LARGE n يمكن أن يكتب بالصورة : \LARGE n=2k+1

وبالتالي فإن :

\LARGE a = n(n^2 + 5) = (2k + 1)((2k + 1)^2 + 5)

\LARGE = (2k + 1)(4k^2 + 4k + 6)

\LARGE = 2(2k + 1)(2k^2 + 2k + 3)

وهذا المقدار أيضاُ عدد زوجي

[سيد كامل]

ممتاز اخت la245 ( حفظك الله)

الثانية يمكن اثباتها بالاستنتاج الرياضي

حيث علينا اثبات ان ن(ن^2 + 5) = 3 هـ حيث هـ عدد طبيعي

العبارة صحيحة عند ن = 1

حيث الطرف الايمن = 1(1+5) = 6 مضاعفا للعدد 3

نفرض ان العبارة صحيحة عند ن = ك اي

ك(ك^2 + 5) = 3م

ك^2 + 5 ك = 3م

ك^2 = 3م - 5 ك ..............(*)

الان نحاول اثبات صحة العبارة عند ن = ك +1 اي نثبت ان

(ك+1){ (ك+1)^2 + 5} مضاعفا للعدد 3

الطرف الايمن = (ك+1)( ك^2 + 2ك + 6)

= (ك+1)( 3م - 5ك + 2ك +6) بالتعويض من (*) عن ك^2

= (ك+1)(3م- 3ك + 6)

= 3(ك+1)(م - ك + 6)

= 3 ل حيث ل = (ك+1)(م - ك + 6) عدد طبيعي

اذن العبارة صحيحة عند ن = ك+1

العبارة صحيحة لكل ن تنتمي N

[مخالفية بلال]

جزاكم الله خيرا