المخروط-القطوع المخروطية(مكافئ-ناقص-زائد)

[Amel2005]

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

سأحاول فى هذا الموضوع تجميع ما وجدته عن القطوع المخروطية من برامج وفلاشات وعروض باور بوينت يمكن أن يستفيد منها المتعلم والطالب فى دراسته ....
علما بأن معظم مصادر هذا الموضوع ستكون من الإنترنت ... من مواقع ومنتديات مختلفة ...

وأسأل الله أن يعيننى حتى يخرج هذا الموضوع بصورة مرضية ....

والله من وراء القصد .....

[Amel2005]

المخروط:

هو جسم مُركّب من دائرة، ونقطة تقع خارج مستوي الدائرة، ومن كل القطع التي تصل هذه النقطة مع نقاط الدائرة.

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_32866211.jpg


وصف أقل رسمي: المخروط مبني من دائرة، ومن نقطة تقع خارج مستوي الدائرة ومن غلاف جانبي "مشدود" يحيط بهما.

نسمي الدائرة قاعدة المخروط، ونسمي النقطة رأس المخروط.


الغلاف الجانبي المخروط : يتكوّن من كل القطع التي تصل بين الرأس ومحيط الدائرة.

أمثلة :

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_54645996.gif

إرتفاع المخروط :

هو قطعة أحد طرفيها في رأس المخروط، والرأس الآخر على مستوي القاعدة، وهي عمودية على مستوي القاعدة.

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_84147950.gif


المخروط القائم :

هو مخروط فيه القطعة التي تصل بين الرأس ومركز الدائرة عموديّة على مستوي القاعدة. (أي أن الرأس موجود بالضبط "فوق" مركز الدائرة).

الراسم في المخروط القائم - هو قطعة تصل بين رأس المخروط ونقطة واقعة على محيط القاعدة.


ملاحظة : هناك فرق بين ارتفاع المخروط القائم وراسمه.

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_62131348.gif


بمعنى : المخروط سطح في الفضاء الثلاثي الأبعاد له ..

- رقعتان تفصلهما نقطة تسمى رأس المخروط..

- محور ...

- دليل (هنا في الشكل دائرة تقع في مستوي عمودي على المحور)...

- مستقيمات مولدة (هنا في الشكل )هي المستقيمات التي تصل رأس المخطوط بمجموعة نقاط الدليل.

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_85678711.gif

يسمى هذا المخروط مخروطا قائما لأن المسقط العمودي لرأس المخروط على المستوي الذي يقع فيه الدليل (الدائرة) هو مركز الدائرة. وهذا هو أبسط المخروطات. والمخروط، في آخر الأمر، هو مجموعة النقاط من الفضاء التي يشكلها اتحاد المولدات.


يتبع ..... ،

[Amel2005]

القطوع المخروطية

إذا تقاطع المخروط الدائرى القائم ذو القاعدتين مع سطح مستوٍ .... نتج ما يسمى بالقطوع المخروطية....

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_56662598.JPG

ويختلف نوع المخروط الناتج تبعا لزاوية تقاطع المستوى مع المخروط ...

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_42106933.gif

وهناك أربعة أنواع مألوفة هى:

(1) الدائرة : المستوى عمودياً على المحور كان المقطع دائرة.

(2) القطع الناقص :المستوى ليس عمودياً على المحور وغير موازي لراسمه

(3) قطع مكافئ : المستوى ليس عمودياً على المحور وموازي لراسم فيه كان المقطع قطع مكافئ.

(4) القطع الزائد :المستوى موازياً المحور .

والمقصود بالمقطع هو شكل المنحنى الناتج من تقاطع المستوى مع المخروط.

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_46289062.gif

يتبع ... ،

[Amel2005]

س : لماذا سمى القطع المكافئ ، والقطع الناقص ، والقطع الزائد بأسمائها ؟

القطع المخروطي هو الشكل الهندسي الذي ترسمه نقطة تتحرك في المستوى بشرط أن تكون نسبة بُعْدِها عن نقطة ثابتة (البؤرة) إلى بُعْدِها عن مستقيم ثابت (الدليل) هي نسبة ثابتة (ف) أو (هـ) وتسمى بالإختلاف المركزي .
أو
القطع المخروطي هو المحل الهندسي لنقطة تتحرك في المستوى بشرط أن تكون نسبة بُعْدِها عن نقطة ثابتة إلى بعدها عن مستقيم ثابت هي نسبة ثابتة.

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_69177246.JPG


ويتحدد نوع القطع كما يلي :

أولاً : إذا كان الاختلاف المركزي ف = 1 .... يكون القطع مكافئاً
تعني قطع مخروط بزاوية تكافىء زاوية ميل مولداته .

ثانياً : إذا كان الاختلاف المركزي ف < 1 .... يكون القطع ناقصاً .
(سمى ناقصا لأن نسبة الاختلاف المركزى تنقص عن 1)

ثالثاً : إذا كان الاختلاف المركزي ف > 1 .... يكون القطع زائداً ...
(سمى زائدا لأن نسبة الاختلاف المركزى تزيدعن 1)

رابعاً : إذا كان الاختلاف المركزي ف = صفر يكون القطع دائرة...

وسميت القطوع المخروطية بهذا الاسم لأنها ناتجة من قطع المخروط الدائرى القائم بمستوى.

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_88715821.gif

يتبع ... ،

[Amel2005]

فلاش يوضح القطوع فى الفراغ

width=400 height=350


فلاش لتوضيح القطع المكافئ

width=400 height=350

فلاش آخر لتوضيح القطع المكافئ (اضغط على الزر العلوى لمشاهدة صورة أخرى لمعادلة القطع المكافئ)

width=400 height=350

القطع الناقص

width=400 height=350

القطع الزائد

width=400 height=350

فلاش آخر للقطع الزائد

width=400 height=350



يتبع ... ،

[Amel2005]

س : ما أهمية دراسة وجود مثل هذه القطوع ؟
أو
س : أين نجد هذه القطوع فى الطبيعة ؟
أو
س : ما هى الخواص المتعلقة بهذه الأشكال والتي أدت دورا أساسيا في مختلف فروع الرياضيات، بما فيها الرياضيات التطبيقية ؟

**************************


للإجابة عن هذا السؤال يمكن أن نبحث في الكون والطبيعة وفي كل ما يحيط بنا عن الأماكن التي تدخل فيها المخروطات وقطوعها. دعنا نشير إلى بعضها موضحين ذلك عبر الصور التي لا يخطر بعضها على البال :


1. لا شك أن كلا منا حدث له أن قطع شكلا مخروطيا باستخدام آلة حادة ... إن حدث ذلك فإننا نحصل على أحد الأشكال التالية (وهي قطوع مخروطية) :

الدائرة والقطع الناقص

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_10834960.jpg

القطع المكافئ والقطع الزائد

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_79951172.jpg

**************************

2. أي مبنى أو بيت لا نرى فيه اليوم هذا الهوائي المخروطي أو ذاك؟

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_25363769.jpg

**************************

3. انظر إلى دائرة من زاوية مائلة. ماذا ستشاهد؟ ستشاهد قطعا ناقصا مثل هذا الموضح في الشكل :

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_29753418.jpg

**************************

4. ضع نصيبا من الماء في كأس، ثم أمِلْه قليلا أو كثيرا وانظر إلى الحافة التي يرسمها الماء على جدار الكأس. ستشاهد قطعا ناقصا كما في الرسم :

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_31499023.jpg

يتبع ... ،

[Amel2005]

5. عندما تقطع اسطوانة بمستوى مائل، هل تحصل على قطع مخروطي؟ نعم، وها هو المنظر المحصل عليه عندما تطبق ذلك على عمارة (الصورة لمبنى في العاصمة الدنماركية، كوبناهجن) :

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_72756348.jpg


**********************

6. عندما تنظر إلى السماء، تصور أن الكواكب والنجوم تتحرك على مدارات ناقصية كما يبين الرسم التالي :

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_74658203.jpg

**********************

7. إذا ما فكرنا في المتناهيات الصغر ... في الذرة والإلكترونات فالملاحظ لدى المختصين أن الإلكترونات تدور حول النواة على مدارات ناقصية ... وكأن النواة تقع في أحد البؤرتين للقطع الناقص، كما في الرسم.

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_36113281.jpg

يتبع ... ،

[Amel2005]

8- تتمتع القطوع الناقصية بخاصية تستخدم في انعكاس الضوء والصوت : إذا انطلق شعاع ضوئي أو من بؤرة قطع ناقص فهو ينعكس على المنحنى بزاوية تجعله يصل إلى البؤرة الثانية. لعل القارئ لا يعلم أن هذه الخاصية تستخدم في الطب لدى عملية تفتيت حصاة داخل الكلية بتصويب الأشعة نحوها.


http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_28249511.jpg

*******************


9. نلاحظ أيضا هذه الخاصية في أمور أخرى : فإذا كنت مع جمع من الناس في رواق مقوس بشكل جزءٍ من قطع ناقص فستلاحظ أن أصواتا ستصلك من أناس بعيدين عنك ولعلك لا تراهم. كيف ذلك؟
إن كان أحدهم في أحد بؤرتي القطع الناقص وكنت أنت في البؤرة الثانية فسيصلك صوته بكل وضوح حتى إن لم تكن بجانبه (انظر الرسم).


http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_24147949.jpg

*******************


10. تصور أن طاولة اللاعب أدناه ناقصية الشكل وأن الكرة قد وضعت في إحدى البؤرتين ... وأن اللاعب دقّها بعصاه نحو الحافة. كيف سيكون مسار الكرة؟ هل ستعود إلى موقعها الأصلي؟


http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_50837402.jpg

*******************


11. إذا قفزت (كما في لعبة الغولف) كرة بشكل مائل فسوف ترسم الكرة جزءا من قطع مكافئ. وإن وصلت الكرة إلى الأرض بقوة تجعلها تنطلق من جديد فسترسم جزءا من قطع مكافئ آخر (انظر الرسم):

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_40283203.jpg

*******************


12. وما قولك في دوي المدافع وقذائفها ؟ هل يمكن تصويبها بدقة؟ ما دمت تعرف أن مسارها ممثل بقطع مكافئ وتعرف موقعك وموقع العدو وقوة دفع مدفعك فيكفي اختيار الزاوية التي تنطلق منها القذيفة لبلوغ الهدف (انظر الرسم التوضيحي) :


http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_84399414.jpg

*******************


13. حتى تدرك جيدا شكل القطع المكافئ، انظر إلى الماء المتدفق من إحدى الفوارات ... أو إلى سمكة في البحر كما يبين الرسمان التاليان :


http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_10759277.jpg

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_61445313.jpg

يتبع ... ،

[Amel2005]

14. انظر إلى شكل ضوء سيارتك، فهو مجسم مكافئ، وضع في بؤرته مصباحا. عندما ينطلق شعاع ضوئي من المصباح (البؤرة) ينعكس على سطح المجسم ويتجه أفقيا (عندما تكون السيارة في وضعية أفقية) ... وكذلك تفعل جميع الأشعة المنطلقة من المصباح والمنعكسة على المجسم. وبذلك ينار الطريق أمام السيارة على بعد أمتار وأمتار، دون تبديد للطاقة، (انظر الرسم) :


http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_48920898.jpg

******************


15. يمكن أن نسعى إلى تحقيق العكس، أي أننا نجمّع الضوء في نقطة بدل توزيعه انطلاقا من نقطة ... أو أن نلتقط أمواجا تأتي من الخارج لتتجمع في نقطة. هذه النقطة نضعها في بؤرة القطع المكافئ، فعندما تأتي الأشعة وتنعكس على سطح المجسم (الذي يمكن أن يكون مرآة مثلا) تتجه تلك الأمواج أو الأشعة نحو البؤرة. فلو وضعت مادة قابلة للاحتراق في البؤرة ووجهت المجسم المكافئ نحو الشمس لاحترقت تلك المادة (يبدو أن مصطلح "بؤرة" أو "محرق" آت من هذه الخاصية من عهد الإغريق). وهكذا يمكن إنتاج طاقة بهذه الطريقة، انظر الرسمين المواليين:


http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_47001953.jpg

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_47617187.jpg

******************


16. ماذا يحدث لو تقابل قطعان مكافئان بشكل معين ووضع مصباح في بؤرة أحدهما، انظر مسار الأشعة الضوئية في الرسم (النقطتان السوداوان تمثلان بؤرتين القطعين المكافئين المتقابلين) :

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_41306152.jpg

******************


17. عندما تبري قلما،كما في الرسم، فكأنك قاطعت مخروطا مع مستوى مواز للمحور. ولذا فالمنحني الذي يظهر على القلم (الحافة الأفقية في الجزء الأصفر من القلم في الرسم) يمثل قطعا زائدا :

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_61357422.jpg

******************


18. وبالمثل، لاحظ الظل على الجدار الذي يصنعه مصباح محاط بمقطع من مخروط، كما في الشكل أدناه، وستشاهد قطعا زائدا :

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_65664063.jpg

******************


19. عندما تحلق طائرة في السماء وتشق طريقها على خط مستقيم فوق منطقة سكانية وينبعث منها أزيزها، فهذا الصوت ينتشر على شكل مخروط رأسه هو رأس الطائرة (تقريبا)، كما في الرسم. كيف يصل الصوت إلى السكان؟ يتقاطع المخروط الصوتي (بالأزرق في الرسم) مع مستوى الأرض وفق قطع زائد (إذا كان محور الطائرة يوازي سطح الأرض). وهكذا فكل الأفراد الموجودين على القطع الزائد يسمعون في آن واحد صوت الطائرة. وبما أن الطائرة تواصل سيرها فإن القطع الزائد يتكرر رسمه على الأرض في كل لحظة في أماكن متصلة ببعضها البعض. وعليه فصوت الطائرة يسمع في كامل المنطقة، لكن شدته تختلف باختلاف المكان والزمان :


http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_35383301.jpg

******************

20. ماذا نصنع عندما نجعل قطعا زائدا يدور حول محوره؟ إننا نصنع مجسما زائدا كما في المبنى الموضح في الصورة الموالية :

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_40527344.jpg



21. إليك صورا أخرى ليست غريبة عنك ... تذكرك بالمخروطات وقطوعها:

دقيق في ملعقة

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_82082520.jpg

******************

تذكر هذا المنظر عند تناول الفول السوداني

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_73647461.jpg

******************


إن كنت من سكان الصحراء فلا تمس هذه الكثبان بسوء حتى تحافظ على الأشكال المخروطية

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_75590821.jpg

******************

اسطوانة في التراب

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_14086914.jpg
يتبع ... ،

[Amel2005]

ومن التطبيقات أيضا .... نجد خواص القطوع المكافئة في الهوائيات المقعرة (المجسم المحصل عليه بدوران قطع مكافئ حول محوره) التي نلتقط من خلالها القنوات التلفزيونية الفضائية. كما نجد خواص القطوع المخروطية في مرايا المقاريب (تلسكوب) وفي مصابيح السيارات.

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_62165527.gif


************************


نلاحظ مما سبق مدى أهمية القطوع المخروطية .... وارتباطها بالحياة ... ولا عجب أن دراسة هذه القطوع كانت محل اهتمام الرياضيين منذ حوالي 25 قرنا.

وبذلك نجد في الرياضيات اليوم كمّا هائلا من النظريات والخواص المتعلقة بهذه الأشكال الهندسية.

واستفاد الرياضيون والفلكيون وعلماء الفضاء والميكانيكيون من هذه المادة الهندسية الدسمة فحلوا بفضلها العديد من المسائل وتعرفوا على مسارات الكواكب وصنعوا أدوات مختلفة تسد حاجياتهم (والتى أوضحنا صورا متفرقة منها فى المشاركات السابقة ) ولنتذكر بعضها سويا:
الهوائيات المقعرة والمرايا المحرقة والهوائيات ومصابيح السيارات، الخ.

والقطوع المخروطية تندرج حسب الجبريين ضمن المنحنيات ذات الدرجة الثانية. وكان ديكارت في القرن الـ 17م قد طبق عليها ادوات الهندسة التحليلية.

أما الرياضيون الإغريق، أمثال مينشيم وأبولنيوس وبابوس Pappus فكانوا أول من انشغلوا بهذه الأشكال وأثبتوا أن القطوع المخروطية الثلاثة تنتسب إلى نفس العائلة رغم أشكالها المختلفة.

وكان للحضارة العربية الإسلامية دورا هامة في مواصلة هذه الدراسات بعد اطلاعهم على الأعمال الإغريقية.

ومن العلماء الذين اهتموا بالمخروطات نجد ثابت بن قرة و أبا جعفر الخازن و أبا سهل الكوهي، و ابن الهيثم وغيرهم كثيرون.


وسنستعرض الآن تطبيق على القطوع المخروطية في انتشار الصوت :

[Amel2005]

تطبيق على القطوع المخروطية في انتشار الصوت

عندما نكون في قاعة كبيرة، كالمسرح، ونريد أن يتوزع فيها الصوت بالتساوي تقريبا في كل مكان بشكل متجانس في الشدة، ما العمل؟
كان الناس يلجأون في الماضي إلى قطوع الناقصية مهمتها توزيع الصوت وتكبيره كيف ذلك؟ بوضع أشكال ناقصية على الجدران تشبه القوقعات (أنظر الشكل).

نلاحظ أن هذه الطريقة لم تعد تستعمل الآن واستبدلت بآلات تكبير الصوت الحديثة.

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_70053711.gif

*********************


ما دور القطع الناقص في هذا الموضوع :

ينتشر الصوت في الهواء وفق كل الاتجاهات في كرات صوتية شدتها متناسبة عكسيا مع مربع المسافة التي تفصل المستمع عن مصدر الصوت :

إذا بعد إنسان بمسافة عن مصدر الصوت تفوق المسافة التي تفصل هذا المصدر عن شخص ثان فإن الصوت يصل للشخص الأول خافتا أربع مرات أقل مما يصل للشخص الثاني.

نعتبر مجسما ناقصيا (نحصل عليه بدوران قطع ناقص حول محوره البؤرى أ أَ َ ) حيث هو مصدر الصوت. نتصور أن موجة صوتية ضربت سطح المجسم الناقص في نقطة م . تقول نظرية بونسلي Poncelet عندئذ إن منصف الزاوية أ م أَ َ عندما تكون م على منحنى القطع الناقص هو العمود على مماس المنحنى عند النقطة م . وعليه فانطلاقا من قواعد انعكاس الضوء فإن الصوت القادم من البؤرى أ َ ينعكس على المنحنى ليتجه نحو أ.


ومن هذه المعلومات نستطيع توجيه الصوت في القاعة كيف ما نشاء بالتحكم في مواقع ووضعيات القوقعات الناقصية المشار إليها آنفا فيكون الصوت متجانسا في القاعة.

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_37033691.gif

نلاحظ أن مسائل الصوت قد درست من قبل الرياضيين منذ عهد فيثاغورس مرورا بـأولر Euler ودنيال برنولي Daniel Bernoulli ودالمبير D'Alembert وغيرهم.

والجدير بالذكر أن شدة الصوت تحسب بديسبيلdB .....

- بيل bel (1847 -1922) و مخترع الهاتف ومن المعروف أن 120 ديسبيل هو أقصى ما تتحمله الأذن البشرية.

ويعرف عن شدة الصوت أنها تنخفض في الأجسام غير الصلبة مثل الستائر ... فوضع ستائر مزدوجة في المنازل وأمام النوافذ تكتم الصوت أفضل من النوافذ الخشبية. وحسب القياسات التي قام بها المختصون فإن الصوت ينتشر بسرعة 331 متر/ثا في الهواء عندما تكون درجة الحرارة 0 درجة، وبسرعة 343 متر/ثا عندما تكون درجة الحرارة 20 درجة. وترتفع هذه السرعة إلى 1430 متر/ثا في الماء وإلى 3300 متر/ثا في الخشب وإلى 4900 متر /ثا في الفولاذ.

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_83457032.gif

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_23432617.gif

يتبع .... ،

[Amel2005]

هناك بعض المعلومات الإضافية عن


التعريف بواسطة المحرق (البؤرة) والدليل

المعادلات القطبية

المعادلات الوسيطية

القطوع الطارية (أو الحلزونية) .


لمزيد من التفاصيل حول هذه النقاط تحديدا يرجى مراجعة الرابط
http://www.infpe.edu.dz/COURS/Enseignants/Secondaire/Mathematiques/el%20mekhrout/index.htm


يتبع .... ،

[Amel2005]

وكنظرة سريعة على القطوع الطارية (أو الحلزونية):
يمكن تعريفها بأنها تقاطع مستوي مع طارة. والطارة هي السطح الذي نحصل عليه بدوران دائرة حول محور

(يكون في مستوي الدائرة ولا يقطعها). انظر الشكل

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_29448242.gif



وهذا الموضوع ليس جديدا إذ نجد لدى الإغريق (برسوس Perseus الذي عاش نحو 250 قبل الميلاد) عملا يتناول هذا الموضوع.

لكن القطوع الطارية لم تنل حظا وافرا من الاهتمام خلافا للقطوع المخروطية.
انقر هنا لرؤية بعض أنواع الأشكال التي نحصل عليها في تقاطع طارة مع مستوي.

3 مواقع هامة
http://fr.wikipedia.org/wiki/Mathématiques
http://www.mathcurve.com/courbes2d

********************

منيشيم Menechme :

تلمذ منيشيم Menechme ، على إفلاطون وأودوكسEudoxe ، واهتم اهتماما خاصا بالقطوع المخروطية فعرّفها كتقاطع مستويات مع مخروطات.

وهكذا صنف منيشيم القطوع حسب الزاوية التي يشكلها المستوي القاطع مع إحدى مولدات المخروط:

إن كانت الزاوية حادة فالقطع قطع ناقص، وإن كانت الزاوية قائمة فالقطع قطع مكافئ، وإن كانت الزاوية منفرجة فالقطع زائد.

في الشكل التالي نلاحظ القطع المكافئ المحصل عليه عندما تكون مولدة المخروط عمودية على المستوي القاطع

(القطع المكافئ يمثل المنحنى الذي ترسمه قذيفة من لحظة قذفها حتى سقوطها على الأرض : بارابولا تعني الرمي جانبا):

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_24440918.gif


********************

أبولونيوس دي بيرغا :

أما أبولونيوس دي بيرغا Apollonios de Perga ، فى (-262/-180 قبل الميلاد) فألّف كتابا شاملا نال شهرة كبيرة حول القطوع المخروطية (وله يرجع الفضل في هذه التسمية) ضمنه العديد من النتائج الهندسية.

ويبدو أن أبولنيوس قام بهذه الدراسة عندما كان بصدد النظر إلى المسألة الشهيرة المعروفة باسم تضعيف المكعب التي كان قد اهتم بها قبله منيشيم ... وكانت قد طرحت 6 قرون قبل الميلاد.

درس أبولونيوس القطعين الزائد والناقص باستخدام المحرقين (التسمية لكبلر Kepler) المتناظرين بالنسبة لمركز القطع.

لكنه لم يقل شيئا بخصوص القطع المكافئ على الأقل في المخطوطات التي وصلت إلى المؤرخين.

وأبولونيوس هو الذي قدم تعريف القطعين الناقص والزائد بالمحرقين المجموع (المسافتين اللتين تفصلان المحرقين عن النقطة) ثابت والفرق ثابت.

ولأبولنيوس نظريات هندسية أخرى لا تتعلق بالمخروطات.


********************

بابوس Pappus Dioclès فى (300-360 م)

واصل عمل أبولنيوس حول المخروطات .... وقد اهتم وقدم بابوس دراسة كاملة للمخروطات بالمحرق والدليل باستخدام النسبة MF/MH=e (البعد المركزي).

ولم تظهر فكرة المخروطات بوصفها منحنيات جبرية (ليبنيتز Leibniz هو صاحب هذه التسمية) إلا في القرن 17 م ضمن أعمال ديكارت Descartes وواليس Wallis.

********************

اهتم العرب والمسلمون بموضوع القطوع المخروطية اهتماما بالغا. وترجم ابن أبي هلال (القرن 9م) بعض أجزاء كتاب المخروطات لأبولنيوس في أحوال الخطوط المنحنية وأكمل ثابت بن قرة (835م-900م) ترجمة بقية هذا الكتاب المرجع، وألف أيضا في هذا الموضوع.

كما ألف ابن الهيثم العديد من الكتب والمقالات نذكر منها
كتاب في بركار القطوع،
ومقالة في مساحة المجسم المكافئ،
ومقالة في المرايا المحرقة بالدوائر،
ومقالة في المرايا المحرقة بالقطوع،
ومقالة في خواص القطع المكافئ،
ومقالة في خواص القطع الزائد،
وكتاب تلخيص مقالات أبولنيوس في مقطوع المخروطات.

وهذا إبراهيم بن سنان بن ثابت (908-947م)، حفيد ثابت بن قرة، يؤلف كتابا بعنوان "مقالة في رسم القطوع الثلاثة" نجد فيه كل أنواع القطوع المخروطية معينًا بيانيا العديد من نقاط تلك القطوع. ولإبراهيم بن سنان مؤلف آخر حول المخروطات سماه "كتاب ما وجد من تفسيره للمقالة الأولى من المخروطات".

وهناك في التراث العربي كتاب بعنوان "الشكل المدور المستطيل" لأحد الأخوة بني موسى استعرض فيه القطع الناقص بالطريقة التي يستعملها البستانيون اليوم لرسم الأحواض ذات الشكل الناقصي (الاهليلجي)، وهي الطريقة المتمثلة في ربط حبل بمسمارين وإدارة نقطة من الحبل بمسمار آخر فيرسم على الأرض قطعا ناقصا.

ومن الذين انشغلوا بالقطوع المخروطية أبو جعفر الخازن الخرساني (القرن 10م).

وأشار إلى الرياضي والفلكي الخازن العديد من المؤرخين الغربيين في مطلع القرن العشرين مثل سمث Smith، الذي أوضح بأن الخازن من أولئك الذين حلوا المعادلات التكعيبية بواسطة القطوع المخروطية.

وأكد ذلك كاجوريCajori بالقول "إن أبا جعفر أول عربي حلّ المعادلات التكعيبية هندسيا بواسطة قطوع المخروط".

أما عمر الخيام فيقول بشأن الخازن : "وإن فيها [أي صناعة الجبر والمقابلة] أصنافا يُحتاج فيها إلى أصناف من المقدمات ... متعذر حلها على أكثر الناظرين فيها. أما المتقدمون فلم يصل إلينا منهم كلام فيها، لعلهم لم يتفطنوا لها بعد الطلب والنظر، أو لم يضطر البحث إياهم إلى النظر فيها، أو لم ينقل إلى لساننا كلامهم فيها. وأما المتأخرون فقد عنَّ للماهاني منهم تحليل المقدمة التي استعملها أرشميدس مسلمة في الشكل الرابع من المقالة الثانية من كتابه في الكرة والاسطوانة، بالجبر، فتأدى إلى كعاب وأموال وأعداد متعادلة فلم يتفق له حلها بعد أن أفكر فيها مليا. فجزم القضاء بأنه ممتنع حتى نبغ أبو جعفر الخازن وحلها بالقطوع المخروطية."

وهناك جانب آخر للقطوع المخروطية اهتم به بعض العلماء العرب والمسلمين، وهو صناعة آلة – سميت البركار التام - قادرة على رسم هذه القطوع.

فقد توصل أبو سهل الكوهي (القرن 10-11م) إلى تصميم آلة خاصة تنشئ بشكل متواصل القطوع المخروطية، حيث نجد في إحدى مخطوطاته دراسة إمكانية رسم المنحنيات المخروطية.

كما صاغ نظرية هذه المنحنيات. ويعتبر المؤرخون هذه الدراسة على مستوى عال بالنسبة لعصر الكوهي. وللبركار التام ذراع ذو طول متغير وذراع آخر مثبّت.

يشكل الذراعان زاوية ثابتة مع سطح الرسم، وعندما تدار هذه الآلة يحدد ذراعها الأول مساحة مخروطية وتقاطع هذه المساحة مع ذلك السطح يشكل قطعا مخروطيا يحدد نوعه وفق اختيارنا لزاوية الذراعين.

وقد تبيّن مؤخرا أن أحد الرياضيين، وهو أبو سعد العلاء بن سهل (القرن 10م) قد أنشأ نظاما آليا لرسم قطوع مخروطية بشكل متواصل وليس متقطعا. ودرس ابن سهل أيضا المرايا المحرقة ثم العدسات المحرقة. فتناول المرآة المحرقة بالقطع المكافئ عندما نريد إحراق جسم على مسافة معلومة، ثم العدسة المسطحة المحدبة والعدسة المحدبة الوجهين. وقد احتاج إلى قانون انكسار الضوء في دراسته للعدسات فرجع إلى ما كتبه بطليموس في البصريات.

والكتاب الذي أثار دهشة المؤرخين مؤخرا هو كتاب الحرّاقات الذي استهله ابن سهل بالتوضيحات التالية : " وقد غَبرت دهرا أبحث عن حقيقة ما يُنحَل أصحاب التعاليم من القدرة على إحراق جسم بضوء على مسافة بعيدة، ويضاف إلى أرشميدس من إحراقه سفن الأعداء بهذا الضرب من الحيل حتى عرفت جملة الحال فيه، وتعقّبتها بالتفصيل فاستعنت عليه بما وجدته من كتب القدماء وانتزعت منها ما تضمّنت به، وهو وصف الإحراق بضوء الشمس المنعكس عن مرآة على مسافة قريبة، ونوع من الإحراق بضوء جسم قريب ينعكس عن مرآة. وواصلت النظر فيما لم يتضمن منه حتى استخرجته وهو وصف الإحراق بضوء الشمس الذي ينفذ في آلة وينعطف في الهواء".

كما اهتم بموضوع الآلات في كتاب معروف بكتاب "جامع المبادئ والغايات في علم الميقات" أحد العلماء المغاربة، وهو الحسن المراكشي (توفي عام 1262م). وقد ذاع صيت هذا الرجل في علم الفلك والميقات والرياضيات والجغرافيا واشتهر في صناعة الساعات الشمسية. يصف المؤرخ الغربي سديو Sedillot كتاب جامع الغايات بالعبارات التالية :

" ... به أول استعمال الخطوط الدالة على الساعات المتساوية، فإن اليونان لم يستعملوها قط. وقد فصّل صناعة الخطوط الدالة على الساعات الزمنية المسماة أيضا الساعات القديمة والمتفاضلة واليهودية. واستعمل خواص القطوع المخروطية في وصف أقواس البروج الفلكية، وحسب خطوط المعادلة ومحاور تلك المنحنيات لمعرفة عرض محل الشمس وانحرافها وارتفاع الربع الميقاتي".
ومن النصوص الكثيرة المتعلقة بالمخروطات في التراث العربي النص التالي للكوهي الموجود ضمن رسالة أرسل بها إلى أبي اسحاق الصابي ردا على خطاب يستفسر فيه عن بعض المسائل " ...

أما في المقالات الأربع التي عملتها ها هنا فقد ظهر لنا فيه أشياء عجيبة تدل كلها على نظم أفعال الباري عز وجل. منها أنه إذا أدرنا نصف دائرة أب جـ حول خط ب د القائم على خط أجـ حتى يحدث من إدارة نصف الدائرة نصف الكرة، ومن القطع المكافئ مجسم المكافئ، ومن المثلث مخروط فيكون المخروط مجسما للمثلث كالجسم المكافئ للقطع المكافئ، ونصف الكرة لنصف الدائرة، فمركز ثقل مجسم المثلث، أعني المخروط، يقع على نسبة الواحد إلى أربعة والمجسم المكافئ على نسبة الاثنين إلى ستة، ونصف الكرة على نسبة الثلاثة إلى الثمانية ... ".

***************

القطع الزائد ذو المعادلة القطبية http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_50822754.gif

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_23894043.gif

القطوع الطارية (أو الحلزونية)

إليك بعض أنواع الأشكال التي نحصل عليها في تقاطع طارة مع مستوي :

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_28676758.gif

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_76831055.gif

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_54287109.gif

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_76921387.gif









يتبع .... ،

[Amel2005]

سنتابع بحول الله وقوته - آجلا- :
القطع المكافئ
ثم
القطع الناقص
ثم
القطع الزائد

ثم سأرفق مجموعة برامج معدة بالفيجوال بيسك وعروض باور بوينت وصور متنوعة تابعة للدرس - إن شاء الله .

تمنياتى للجميع بالتوفيق .... ،
ولا تنسونى من دعاء صالح بظهر الغيب ...
وفقنى الله وإياكم.

والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته.

[بشير كريم]

السلام عليكم .السؤال:لماذا قسمت كمية على صفر يكون كمية غير معرفة

[uaemath]

شكرا أخت أمل ، مميزة دائما كما عودتينا

أغتنم هذه الفرصة لشكرك مجددا على حسن بلائك في المنتدى و تجاوبك

السريع مع طلبات الاعضاء :clap::clap::clap:

[hamedms]

دايما عندك كل ما هو جديد ورائع
شكرا على الفلاشات الرائعة
حامد

[دجحخه]

جزاك الله خير والله يعطيكي العافية على هذا الموضوع الرائع والمتكامل
بس عندي سؤال كيف أنسخ هذا الموضوع للوورد وخاصة الفلاشات ومن ثم أنسخ الموضوع للفلاش مومري أريد الجواب اليوم عشان بكرة أجيبه المدرسة إنشاء الله ومشكوووورة

[laila245]

موضوع مميز جداً أختي أمل

جزاك الله خيرا على هذا المجهود الأكثر من رائع

[Amel2005]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
:yea: أهلا بكم جميعا أساتذتى واخوتى الكرام
أسعدتمونى بمروركم ... بارك الله فيكم

أستاذنا الكريم / uaemath ، جعل الله كل أوقاتك فرحا وسرورا...
أخى الكريم / حامد ، أسعدك الله فى الدارين .
أخيتى العزيزة الغالية / la245 ، حفظك الله ... وزادك علما ورزقا وخيرا.

أخى الفاضل / بشير كريم
وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته أخى الفاضل
أعتقد أن القسمة على الصفر كمية غير معرفة إذا نظرنا لها كمعكوس لعملية الضرب

مثلا 12 ÷ 4 = 3
معناها تكرار للعدد 4 ثلاث مرات 4 × 3 = 12

ولكن وبافتراض أن 12 ÷ صفر = س
فما هو العدد الذى لو تكرر الصفر بعدد مراته لأصبح 12
لن نستطيع أبدا .... ولذا نعتبرها كمية غير معينة ...

15/3 = 5 تعنى امكانية تقسيم الـ 15 إلى 5 أجزاء متساوية مكون كل منها من 3
20/2 = 10 تعنى امكانية تقسيم الـ 20 إلى 10 أجزاء متساوية مكون كل منها من 2

12/0 = ؟ فهل يمكن تقسيم 12 إلى مجموعات متساوية مكون كل منها من صفر ؟



(وجهة نظر شخصية) ... والله أعلم

أخى الكريم / دجحخة ...
لنقل الموضوع لملف وورد فذلك يتم بالنسخ واللصق ... والاحتفاظ بالصور على الجهاز وادراجها من خلال
وكذلك الفلاشات
insert ---------> object

شكرا للجميع ...
وفقكم الله .

[دجحخه]

يا أخت أمل بالنسبة للفلاشات لم تنسخ معي الله يرضى عنك قوليلي الخطوات بالتفصيل حيث أنه عندما أنقر على الفلاش بالزر الأيمن من الماوس يطلع لي كلام اجليزي لا أعلم كيف أنسخ إن أمكن وشكراً

[Amel2005]

السلام عليكم

روابط الفلاشات

فلاش يوضح القطوع فى الفراغ
http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_75012207.swf

فلاش لتوضيح القطع المكافئ
http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_29663086.swf

فلاش آخر لتوضيح القطع المكافئ (اضغط على الزر العلوى لمشاهدة صورة أخرى لمعادلة القطع المكافئ)
http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_45566406.swf

القطع الناقص
http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_76850586.swf

القطع الزائد
http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_74616700.swf

فلاش آخر للقطع الزائد
http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_26704101.swf

وهذا ملف به حوالى 25 صورة توضح لك كيف يمكن الاستفادة من القطوع المخروطية فى حياتنا العملية
الرابط (http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_18906250.zip)

طريقة حفظ الفلاشات على جهاز الكمبيوتر:
اضغط بالزر الأيمن للماوس على رابط التحميل
واختر "حفظ الهدف باسم"

لإدراج الفلاش في الوورد :http://vb.eyesweb1.net/uploaded/1550_flash_in_word.swf

ولا تتردد فى أى استفسار أخ دجحخة....

وفقك الله ....

[دجحخه]

جزاك الله خير والله يعطيك العافية ومشكورة على الجهد الكبير والرائع والله يجعله في ميازين حسناتك

[mostafa3000]

ماشاء الله جزاك الله خيرا

[Amel2005]

شكرا لمروركما ...
وفقكما الله ... ،

[عاتكة77]

مشكوره اختي امل بس انا ابي ملخصات (الزبدةمن هذا الكلام)

[Amel2005]

مشكوره اختي امل بس انا ابي ملخصات (الزبدةمن هذا الكلام)

الزبدة ؟!!!
أضحك الله سنك يا عاتكة ...

يعلم الله أنى لازلت لا أتمالك ابتسامتى من كلماتك....
غفر الله لك ...

الزبدة ؟!!! موجودة بكل مواضيع المنتدى التى تحدثت عن القطوع المخروطية ...
أختى ...
قصدت بهذا الموضوع طلاب وطالبات الثانوية والتوجيهى ... والتى كثرت طلباتهم حول بحث عن القطوع المخروطية ...
ربما لطلب أساتذتهم ذلك منهم ...

ولتوفير الوقت لهم ليتسنى لهم المذاكرة ... حاولت الاستفاضة فى الموضوع ...
لكن ...
إن شاء الله سأجمع روابط المواضيع التى تحدثت عن الخلاصة المفيدة بالمنتدى وأزودك بها ...

شكرا لمرورك أختى ...
وفقك الله ... ،

[ahmed saher]

اتمنى لك كل الموفقية آملين المزيد

[hujer]

لطالما تمنيت الحصول على هذة الصور ششششششششششكرررررررراااااااااا

[hamodamath]

جزاك الله كل خير

[مصممه مبدعه]

شكرا جدا على هذه المعلومات القيمه ولكن اريد ان اسالك انا ادرس هندسه ولدي مبنى دائراي له اشعاعات اخرى تشكل جزء من المبنلى اريد وضع سكاي لايت مخروط ولكن لن اجد مواقه هندسيه تتكلك عن هذا اقصد الاشكال الهندسيه وتوافق الكتل فان كنت تعلمين ارجو كتابه تلك الوافع شكرا

[hosam]

الله والله ولا أروع ولا أجمل بارك الله فيكى

[العرافه]

إختي أمل

بصراحه موضوع أكثر من رائع فأنا سجلت بالمنتدى لكي أشكرك

أخوكـ،
عبدالله العرافه من السعودية

[math.uae]

جعله الله في ميزان حسناتك أختي أمل مبدعة دوما بما تقدمينه
أختي أمل عندي طلب بسيط ياليت ماترديني فيه ممكن تعرضي شرح sinx,cosx للأخ عادل حسين وشكرا جزيلا

[نوفان]

صراحة ربنا يخليك كل المعلومات روعة والرسومات واضحة
يساعد كلى الفهم ............ شكرا

[abbasso]

مشكوووووووووووووووووووووووووووووووووور على هالجهد الرائع

[العلوي78]

مشكور
وجزاك ربي عنا وعن كل من تصله هذه المعلومات كل خير

[محمودالجمال2007]

جزاكم الله خيرا
وعرض اروع
ووسائل غاية فى الروعة
سلمت يداك اخى الفاضل
موضوع رائع

[معلمة صبورة]

جزاكم المولى كل خير

[sparta]

جزيل الشكرلك......عمل أكثر من رائع.......جزاك الله ألف خير..:yea::yea::yea::yea::yea::yea:

[osama1234]

مشكورين وجزاكم الله خير

[حميدي]

مشكووووووووووووور
وماقصرت جزاك الله خير

[ابراهيم1]

بسم الله الرحمن الرحيم شكرا جزيلا علي الجهد المميز راجيا الله ان يتم عليك نعمه

[سلمى]

شكرا

[LUBAB]

:ty::p::scorched:يسلمو موضوع اكثر من رائع

[دم الغزال3008]

ماشاء الله وبارك الله فيك يا اخي

[لولو333]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
أختي أمل:
لو لم يكن لي من التسجيل إلا شكرك على هذا الموضوع المتميز لكفاني .
أنت فعلا مبدعة ومعلوماتك متجددة .
جزاك الله كل خير وجعله في ميزان حسناتك

[amomo]

الله يوفقك

[طالب الهروي]

شكراااا جزيلا على الموضوع الرائع والمميز
يعطييييك العافيه

[محمد سالم2]

جزاك الله خيراً - جزاك الله خيراً

[keke.sy]

شكر أحر من جمرات النار




حبيبي كاتب هذا الموضوع دعني ان اقبل هذا القلم الذي كتبتة به هذا الموضوع الذي يستحق الجوائز العالمية وليس الشكر فقط


ولقد قمت بالتسجيل في هذا المنتدى لكي اضع ردي هذا بع ان اعجبت بهذا الموضوع لهذا الكاتب




فالف الف شكرا لك