من فضلكم ... سؤال في المتتاليات

[gdjallelc]

هذا تمرين في المتتاليات من فضلكم حل سريع

(Un) متتالية عددية معرفة من أجل كل عدد طبيعي n غير معدوم ، حدودها موجبة حيث:

Un= n2/2n
1/ من أجل كل عدد طبيعي n حيث:
Vn= Un+1/Un
أ‌) بين أن :
Lim Vn=1/2
+∞ ـــــــ n
ب)برهن من أجل كل عدد طبيعي n حيث n>0 1/2< Vn
ج)أوجد أصغر عدد طبيعي N بحيث n≥N و Vn<3/4
د)استنتج من أجل n≥N أن Un+1<3/4 Un

2/ الهدف هو أثبات أن المتتالية (Sn) مع n≥5
Sn= U5+U6+………..+Un

أ) برهن بالتراجع من أجل كل عدد طبيعي n≥5
Un ≤ (3/4)n-5 × U5
ب‌) بين من أجل كل عدد طبيعي n≥5
Sn ≤ [1+3/4 + (3/4)2+……..+ (3/4)n-1 ] XU5
ج) استنتج من أجل كل عدد طبيعي n≥5 ≤ 4U5 Sn
3) بين أن المتتالية (Sn) مع n≥5 متزايدة و استنتج أن (Sn) مع 0n≥ متقاربة.