مقدمة للنظم العددية

[استاذ الرياضيات]

الحمد لله الذى تتم به الصالحات والصلاة والسلام على رسوله الكريم
السلام عليكم ورحمة ألله وبركاته:
مقدمة للنظم العددية:
نظامنا العشرى يعتمد فى بنائه على مجموعة الأرقام
{ 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 }
وهذه الأرقام كافية للتعبير عن أى عدد نريده وذلك بابتكار فكرة المنازل المختلفة للعدد (الخانات) للحصول على أعداد مكونة من مجموعة الأرقام المذكورة وبها استطاع الإنسان التعبير عن جميع الأعداد الطبيعية ثم الصحيحة ثم النسبية ( الكسور) ثم الحقيقية ثم المركبة … إلخ
فباستخدام منزلتان نحصل على جميع الأعداد المكونة من رقمين
على الصورة 10 , 11 ,12 ,13 , 14 , 000 وهكذا حتى 99
وباستخدام ثلاث منازل نحصل على جميع الأعداد المكونة من ثلاث أرقام
على الصورة 100 , 101 , 102 , 000 وهكذا حتى 999
وباستخدام أربع منازل نحصل على جميع الأعداد المكونة من أربع أرقام
على الصورة 1000 , 1001 , 1002 , 000 وهكذا حتى 9999
وهكذا إلى ما لا نهاية وتسمى هذه المنازل بالمنازل العشرية نسبة إلى أول عدد مكون نحصل عليه مباشرة بعد الرقم 9 وهو العدد (10)
أى أن قيمة أى عدد تتوقف على قيمة المنازل العشرية لكل رقم من أرقامه المكونة له
فمثلا العدد 2638 =(8 ×1) + ( 3 ×10) + (6 ×100) + (2 × 1000 )
فيكون العدد 2638 = 8 + 30 + 600 + 2000 = 2638
ونقول أن العدد 8 واقع فى المنزلة الأولى(خانة الآحاد )
وهذه قيمتها = 10 ^ 0 = 1
ونقول أن العدد 3 واقع فى المنزلة الثانبة (خانة العشرات)
وهذه قيمتها = 10 ^ 1 = 10
ونقول أن العدد 6 واقع فى المنزلة الثالثة (خانة المئات)
وهذه قيمتها = 10 ^ 2 = 100
ونقول أن العدد 2 واقع فى المنزلة الرابعة (خانة الألوف)
وهذه قيمتها = 10 ^ 3 = 1000
وهذا النظام السائد المطبق فى جميع أنحاء المعمورة منذ أن خلق الله عز وجل الإنســـان
قال تعالى : " وعلمَ آدم الأسماء كلها " سورة البقرة

*************************************
*************************************

والآن ماذا يمنعنا من أن نفترض أن كائنات عاقلة فى مكان ما من هذا الكون توصلت إلى مجموعة الأرقام { 0 , 1, 2 , 3 , 4 } فقط
فسوف نجد أنه يمكنها هى أيضا كما تمكنا نحن من قبل بالتعبير عن أى عدد تريده بنفس فكرة المنازل (الخانات)
فباستخدام منزلتان تحصل على جميع الأعداد المكونة من رقمين
على الصورة 10 , 11 ,12 ,13 , 14 , 20 , 21 , 000
وهكذا حتى 44
وباستخدام ثلاث منازل تحصل على جميع الأعداد المكونة من ثلاث أرقام
على الصورة 100 , 101 , 102 , 103 , 110 , 111 , 000
وهكذا حتى 444
وباستخدام أربع منازل عشرية تحصل على جميع الأعداد المكونة من أربع أرقام على الصورة 1000 , 1001 , 1002 , 1101 , 000
وهكذا حتى 4444
وهكذا إلى ما لا نهاية ويمكن تسمية هذه المنازل بالمنازل الخمسية
نسبة إلى أول عدد مركب نحصل عليه مباشـــرة بعد الرقم 4 وهو العدد (10)
أى أن قيمة أى عدد تتوقف على قيمة المنازل الخمسية لكل رقم من أرقامه المكونة له
فمثلا العدد 2134 = (4 × 1) + ( 3 × 5) + (1 × 25) + ( 2 × 125 )
فيكون العدد 2134 = 4 + 15 + 25 + 250 = 294 بالنظام العشرى لنا
ونقول أن العدد 4 واقع فى المنزلة الأولى(خانة الآحاد )
وهذه قيمتها = 5 ^ 0 = 1
ونقول أن العدد 3 واقع فى المنزلة الثانبة (خانة --)
وهذه قيمتها = 5 ^ 1 = 5
ونقول أن العدد 6 واقع فى المنزلة الثالثة (خانة --)
وهذه قيمتها = 5 ^ 2 = 25
ونقول أن العدد 2 واقع فى المنزلة الرابعة (خانة --)
وهذه قيمتها = 5 ^ 3 = 125
وسوف يقومون كذلك بتطبيق العمليات الحسابية وغيرها فى هذا النظام الخماسى والحصول على نتائج مطابقة تماما لنظامنا العشرى فمثلا إذا كان لدينا عددان من النظام الخماسى هما:
س = 2134 , ص = 1341 فإننا يمكننا إيجاد نتائج العمليات الأتية :
س + ص , س – ص , 2 × س , س ÷ 2 , غيرها بنفس الأفكار المطبقة فى نظامنا مع مراعاة عدم تجاوز أكبر رقم لدينا وهو الرقم 4
وسوف أقوم بهذه العمليات تارك تفاصيل كل عملية للشرح لا حقا
أولا : س + ص = 2134 + 1341 = 4030
ثانيا : س – ص = 2134 – 1341 = 243
ثالثا : 2 × س = 2 × 2134 = 4323
رابعاً : س ÷ 2 = 2134 ÷ 2 = 1042

ويمكننا مقارنة النتائج السابقة بالنتائج و التى كان يمكننا الحصول عليها من نظامنا العشرى

كما هو موضح بالآتى:
الرمز --------------- العدد الخماسى --- العدد العشرى المقابل له
س ------------------ 2134 --- 4+15+25+250 =294
ص ------------------ 1341 --- 1+20+75+125=221
المجموع = س+ ص - 4030 --- 0+15+0+500=515
الفرق = س - ص ----- 243 --- 3+20+50 = 73
ضعف س = 2 × س --- 4323 --- 3+10+75+500=588
نصف س = س ÷ 2 --- 1042 --- 2+20+0+125=147
وسوف نكمل إن شاء الله الموضوع قريبا
والسلام عليكم ورحمة الله بركاته

[استاذ الرياضيات]

الحمد لله الذى تتم به الصالحات والصلاة والسلام على رسوله الكريم
السلام عليكم ورحمة ألله وبركاته
-------------------------
حاول بنفسك حل المسائل البسيطة الأتية على العمليات الحسابية فى هذا النظام وقارن إجابتك بالحل الموجود فى نهاية المشاركة
بنفس الأفكار المطبقة فى نظامنا
--------------------------------------------------
السؤال الأول
أوجد ناتج الجمع لكل عددين فيما يأتى
431 ……………… 3241 …………… 331211 العدد الأول
123 ……………… 2222 …………… 444 …… العدد الثانى
---------------------------------------------------
السؤال الثانى
أوجد باقى الطرح لكل عددين فيما يأتى
431 ……………… 3241 …………… 331211 المطروح منه
123 ……………… 2222 …………… 444 …… المطروح
ثم تأكد من الناتج وذلك بجمع باقى الطرح على المطروح للحصول على المطروح منع
------------------------------------------------
السؤال الثالث
أوجد حاصل الضرب لكل عددين فيما يأتى
431 ……………… 3241 …………… 331211 العدد الأول
3 ……....………… 21 …....………… 210…… العدد الثانى
السؤال الرابع
أوجد خارج القسمة لكل عددين فيما يأتى
431 ……………… 3242 …………… 33121 المقسوم
2 ……………....… 3 ……….....…… 11 …… المقسوم عليه
ثم تأكد من الناتج وذلك بضرب خارج القسمة فى المقسوم عليه للحصول على المقسوم
-----------------------------------------------------------------

ملخص ما سبق: أنه يمكن وضع نظام عددى يعتمد فى بنائه الرياضى الكامل
على مجموعة الأرقام { 0 ,1 ,2 , ... , (ن –1) } فقط
-----------------------
وسوف يسمى مثل هذا النظام النظام العددى النونى
------------------------
فمثلا مجموعة أرقام النظام الثانى هى { 0 , 1 }
و-- مجموعة أرقام النظام الثلاثى هى { 0 , 1 , 2 }
و-- مجموعة أرقام النظام الرباعى هى { 0 , 1 , 2 , 3 }
و-- مجموعة أرقام النظام الخماسى هى { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }
و— وهكذا ... إلخ إلى أن نصل إلى نظامنا العشرى
*****************
فإذا زادت رتبة النظام عن ذلك فإننا نضع
A=10 , B=11, C=12, D=13, E=14, f=15
وهكذا ... إلخ
وعلى ذلك فمجموعة أرقام النظام الحادى عشر
هى {0 ,1 ,2 , ... ,8 ,9 , A }
و مجموعة أرقام النظام الثانى عشر هى
{0 ,1 ,2 , ... , 8 ,9 , A , B }
و مجموعة أرقام النظام الثالث عشر هى
{0 ,1 ,2 , ... , 8 ,9 , A , B , C }
و مجموعة أرقام النظام الرابع عشر هى
{0 ,1 ,2 , ... , 8 ,9 , A , B , C , D }
ومجموعة أرقام النظام الخامس عشر هى
{0 ,1 ,2 , ... , 8 ,9 , A , B , C , D , E }
ومجموعة أرقام النظام السادس عشر هى
{0 ,1 ,2 , ... , 8 ,9 ,A , B , C , D , E , F }
*******
والأن سوف نكمل دراسة النظام العددى الخماسى والذى تم تعريفه بالمشاركة السابقة مباشرة
بشيء من الفصيل كنموذج تطبيقى لأى نظام عددى مشابه
مجموعات الأعداد : فى ذلك النظام سوف تعرف كالتالى:
مجموعة الأعداد الطبيعية ط
= { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 20 , 21 , 000 }
مجموعة الأعداد الصحيحة ص
= { 000 , 11 , 10 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , -1 , -2 , -3 , -4 , -10 , -11 , 000 }
مجموعة الأعداد النسبية ن (الأعداد الكسرية )
= { أ \ ب : أ , ب عددان صحيحان , ب لا تساوى صفر }
مجموعة الأعداد غير النسبية نَ
( وتشمل جميع الأعداد التى لا يمكن وضعها على صورة عدد نسبى )
مجموعة الأعداد الحقيقة ح
= وتشمل جميع الأعداد النسبية والغير نسبية = ن (اتحاد) نَ
= { س : س2 (أكبر أو تساوى) 0 }
= مجموعة جميع الأعداد التى مربعها ليس عدد سالب
وسوف يكتشف أهل هذا النظام :
- أنه لا يجوز القسمة على العدد صفر
- وأنهم فى حاجة لتوضيح مفهوم الكميتان موجب وسالب مالانهاية
- - وسوف يتمكنوا من تمثيل هذه الأعداد على خط الأعداد الحقيقة
- ووضع تعريف لمفهوم المجموعات والعمليات عليها وكذلك مفاهيم عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة والأسس بجميع أنواعها والجذور بجميع أنواعها وحل المعادلات الجبرية والهندسة بجميع أنواعها و أكتشاف التمثيل الديكارتى قى المستوى والفراغ الثلاثى والفراغات الأعلى من ذلك وابتكار المحددات و المصفوفات والمتجهات والنهايات والتفاضل والتكامل والفراغ التوبولجى 00000 إلخ
- وطبعا لن يتم ذلك دفعة واحدة ولا بنفس الترتيب المذكور ولكن لأننا خبرة كافية بنظامنا العشرى فتوقع منهم أن يسيرو على نفس دربنا إلى أن بصلوا إلى ما وصلنا إليه من نظام عددى متكامل هذا ما لم يكون قد سبقونا بمراحل وينظرون إلينا الأن على أننا قوم متخلفون رياضبا ً!!!!!!!!!!
********************
ج1 --- 1104 ---- 11013 ---- 332210
ج2 --- 303 ---- 1014 ----- 330212
ج3 ---1412 ---124111 --- 13010431
ج4 --- 213 --- 1044 --- 3011
وسوف نكمل إن شاء الله الموضوع قريبا بالمشاركة التالية
والسلام عليكم ورحمة الله بركاته

[استاذ الرياضيات]

الحمد لله الذى تتم به الصالحات والصلاة والسلام على رسوله الكريم
السلام عليكم ورحمة ألله وبركاته
-----------------------------------------------------
وبالرجوع إلى النظام العددى الخماسى
يمكن إلقاء نظرة على الحقائق الأتية
وإذا أصابتك الدهشة أو أحسست بالغرابة فيمكنك أن تتأكد بنفسك من صحة ذلك
مجموعة الأعداد الزوجية هى:
= { 0 , 2 , 4 , 11 , 13 , 20 , 22 , 24 , 31 , 000 }
مجموعة الأعداد الفردية هى:
= { 1 , 3 , 10 , 12 , 14 , 21 , 23 , 30 , 32 , 000 }
مجموعة الأعداد الأولية هى:
= { 2 , 3 , 10 , 12 , 21 , 23 , 32 , 34 , 43 , 000 }
مجموعة مربعات الأعداد الطبيعية وهى:
= { 0 , 1 , 4 , 14 , 31 , 100 , 121 , 144 , 400 , 000 }
&&&&&&&&&&&&&&
وإذا إفترضنا أن سكان الكرة الأرضية أرادوا إرسال سفير لها إلى هذه الكائنات
فقاموا بعمل اختبار لمجموعة من الأشخاص المتقدمين لاختيار أفضلهم للقيام بهذه المهمة
وإليكم بعض المسائل الرياضية الواردة فى هذا الأختبار
فهل يمكنك أن تكون أنت سفير سكان كوكب الأرض عندهم
&&&&&&&&&&&&&&
السؤال الأول : حدد الأعداد الفردية من المجموعة { 4 , 13 , 14 , 100 , 121 , 144 } ثم أوجد الجذر التربيعى لكل منها
---------------------------
السؤال الثانى : حلل العدد 440 إلى عوامله الأولية
-----------------
السؤال الثالث : مكعب حجمه 102 وحدة مكعبة أوجد مساحة سطحه
-----------------
السؤال الرابع : أوجد متممة ومكملة زاوية قياسها 43 درجة
-----------------
السؤال الخامس : حل النظام المعادلات الأتية جبريا ومثل الحل بيانيا فى المستوى ح2
-------------------
2س + ص = 31 ----(1)
3س – ص = 14 ----(2)
------------------------------
السؤال السادس : أوجد مجموعة حل المعادلة الأتية
س2 – 11س + 13 = صفر
-----------------------------
السؤال السابع : أوجد المشتقة الأولى للدالة د(س) = س3 – 22س بالنسبة إلى س
ثم أوجد النقط التى يكون عندها المماس موازيا لمحور السينات
----------------------------
السؤال الثامن : أوجد المساحة المحصورة بين منحنى الدالة
د(س)= 10 س4 +1 ومحور السينات فى الفترة [0 , 2 ]

&&&&&&&&&&&&&&
وفى إنتظار بعض الإجابات للترشيح لمهمة سفير
أرجوا التوفيق للجميع

والسلام عليكم ورحمة الله بركاته

[Prince_Sindbad]

لقد قرأت رسالتكم الكريمة .. معكم طالب بكلية التربية جامعة عين شمس قسم الرياضيات الانجليزية
ماذا تعنى الكلمات الاتية بالنسبة لكم
Group - Direct Sum - Field - Ring - Vector Space
منتظر اجابتكم

[استاذ الرياضيات]

الحمد لله الذى تتم به الصالحات والصلاة والسلام على رسوله الكريم
السلام عليكم ورحمة ألله وبركاته
مرحبا بالأخ الكريم
معك خريج كلية تربية عين شمس قسم رياضيات دفعة 1976
وغالبية الدراسة فى وقتنا للرياضيات بالإنجليزى المذكرات والإمتحانات
و لكن الدكاترة كانوا بيشرحوا بالعربى
وبالرغم من غرابة سؤالك إلا أننى سعيد بمشاركتك
Group - Direct Sum - Field - Ring - Vector Space
فراغ المتجهات ---- الحلقات - الحقول - الجمع المباشر - المجموعات
الرجاء توضيح سبب السؤال ولك الشكر
والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته

[uaemath]

شكرا أخي استاذ الرياضيات
على هذه الإضافة القيمة سائلين المولى عز و جل أن يجعلها في ميزان حسناتك

لي تعليق بسيط على ترجمة المفردات ،ذلك أننا نستخدم (المجال) لترجمة Feild و كلمة (الفئة) لترجمة Group

للأسف ليس هناك تعابير رياضية موحّدة في العالم العربي


أرحب أيضا بالأخ Prince_Sinbad

و شكرا لكما

[استاذ الرياضيات]

الحمد لله الذى تتم به الصالحات والصلاة والسلام على رسوله الكريم
السلام عليكم ورحمة ألله وبركاته
الأخ الكريم uaemath حفظك الله
شكرا لك على المتابعة وأسئل الله عز وجل أن يؤجركم وجميع المسئولين عن هذا الموقع كل خير وجعل كل كلمة وكل حرف يسطر فى هذا الموقع فى ميزان أعمالكم
فقد أفسحتم لنا موقع متميز فى الجدية والإحترام يعمل على إبتغاء مرضات الله عز وجل
وشكرا لك أيضا على ملاحظتك القيمة بخصوص التعابير الرياضية
والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته

[حمدى أبو ذكرى]

بسم الله الرحمن الرحيم
الأخ الفاضل الكريم أستاذ الرياضيات أعزك الله وجزاك خيرا عن مجهودك
برجاء زيارة الرابط التالى فى نفس المنتدى لترى وتشاهد فيه موضوع من عمل أخ وزميل لك وهذا الموضوع جديد من نوعة فى العالم كله وهو من أحدث إبتكاراتى الرياضية لكيفية إحتراف إجراء جميع العمليات الحسابية من جمع وطرح وضرب وقسمة والمراجعة عليهم على أصابع يديك وبمجرد النظر وأسرع من الآلات الحاسبة وبدونها من رقم واحد إلى مشاء الله من الأرقام

http://www.uaemath.com/ar/aforum/sh...=&threadid=1042
أخوكم فى الله والعروبة
المهندس المخترع المصرى / حمدى أبو ذكرى

[عبد البديع]

بسم الله الرحمن الرحيم
ايها الساده الكرام بعد حلولكم لا توجد حلول اخرى

[جمعه الرفاعى]

السلام عليكم ورحمه الله وبركاته
هذه اول مشركه لى على منتدى الرياضيات العربيه
ولكنها لن تكون المره الاخيره باذن الله
اما بانسبه لسؤال الترجمه
كلمه
group
تعنى الزمره
:p:

[mmmyyy]

موضوع النظم العددية .. شيق للغاية .. عزيزي أستاذ الرياضيات ..

ويستخدم في نظم التشفير ..

وتقوم على أساسه لغة الآلة للحاسب الآلي ...

حيث يتم تصميم الدوائر الإلكترونية المنطقية والحسابية على أسس النظام الثنائي ...

وبمرور الوقت تم انتاج برامج مترجمة للترجمة من لغة الآلة (المبنية على نظام العد الثنائي Binary) إلى لغة (مبنية على نظام العد الثماني Octal أو السادس عشري Hexadecimal) وبالعكس .. بقصد تسهيل عمليات اليرمجة ...

للموضوع بقية ...

[أم عبد الله]

موضوع النظم العددية .. شيق للغاية .. عزيزي أستاذ الرياضيات ..

ويستخدم في نظم التشفير ..

وتقوم على أساسه لغة الآلة للحاسب الآلي ...

حيث يتم تصميم الدوائر الإلكترونية المنطقية والحسابية على أسس النظام الثنائي ...

وبمرور الوقت تم انتاج برامج مترجمة للترجمة من لغة الآلة (المبنية على نظام العد الثنائي Binary) إلى لغة (مبنية على نظام العد الثماني Octal أو السادس عشري Hexadecimal) وبالعكس .. بقصد تسهيل عمليات اليرمجة ...

للموضوع بقية ...




السلام عليكم و رحمة الله و بركاته

أخى الكريم / أستاذ الرياضيات

جزاك الله خيراً لهذا الموضوع المتميز


أخى العزيز / محمد

أضافه قيمة بارك الله فيك و جزاك كل الخير

* * *

تمثيل البيانات

أضغط هنا (http://www.phillips-publishing.com/files/abdelmalek.ppt#305,1,بسم الله الرحـــــــمن الرحيم)



لعل هذا الرابط يفيد الموضوع

* * *

[أم عبد الله]

تاريخ النظم العددية في الحضارات القديمة


أهتم الانسان منذ قديم الزمان بالعد والحساب ، فالانسان الاول عَد الاشياء من حوله والتي تحيط به في الطبيعة ، الاشجار الجبال الانهر والخ من الاشياء . وبعد تحول الانسان من حياة الصيد إلى حياة التدجين من خلال التجمعات السكانية والجماعات البشرية التي انتقل اليها في مراحل تطورة الحياتي ، في خطوة اولى لبناء القرى والمدن اتضحت حاجته الماسة إلى العد والحساب ، لعد مواشيه وحيواناته لعد مخزونه ، وبالتالي لعد الايام والفصول .

لم يكن العد في بداياته متطورا كما هو عليه اليوم ، إذ لم يكن هنالك نظام عددي معين مثل ما نستخدم نحن اليوم النظام العشري ، وكثير منا لا يدرك اهمية النظام العددي ، ولكي نفهم تلك الاهمية نضع نحن الان تعريفا مبسطا للنظام العددي ونقول بأنه نظام يمثل مجموعة من الاعداد المحدودة وبتكرارها او بكتابتها مع بعض تعطينا اعداد أكثر ضمن صيغ محددة في النظام وتخضع إلى اسلوب معين في العمليات الحسابية الاولية مثا الجمع والطرح والضرب والقسمة ،وكتوسع أكبر نقول ان النظام العشري المستخدم اليوم يمثل عشرة اعداد هي 0 ،1، 2، 3 ،4 ،5 ،6 ،7 ،8 ،9


اما النظام الثنائي فهو نظام يستخدم العددين 0 ،1 فقط ولكل نظام عددي مميزاته وخصائصه مثلا اليوم اغلب الحاسبات الالكترونية تستخدم النظام العددي السادس عشر لخصائصه المتميزة في العد والحساب ولكنه لنا نحن الاشخاص العاديين يعتبر معقد وصعب ربما لاننا تعلمنا منذ صغرنا على النظام العشري .


لم يكن هنلك ظهور للانظمة العددية في التاريخ لغاية الالف الثاني قبل الميلاد ، وحسب ما تشير المراجع التاريخية انه في بلاد بابل ظهر النظام العددي الاول وهو النظام الستيني الذي لحد اليوم يستخدم في حساب الوقت حيث الساعة ستون دقيقة والدقيقة ستون ثانية وهكذا وهو ايضا ما مستخدم اليوم بالتقويم السنوي .



..
.

[أم عبد الله]

اعتمد الانسان بالدرجة الاولى في الحضارات القديمة البدائية على اصابع اليد في العد ، وكانت هنلك حتى وقت قريب قبائل بدائية في افريقيا وقبائل اخرى من سكان اميركا الاصليين لا يستعملون في لغاتهم سـوى ما يقابل ( واحد ، اثنان ، ثلاثة ، أربعة ) ولم تكن لديهم تسمية خاصة للعدد خمسة فيقولون عن كل ما يزيد عن الخمسة بأنه ( كثير ) ، وكانت قبائل اخرى تقول عن العدد خمسة بأنه ( اليد ) ، ويمثلونه باليد اليمنى ، ويعبرون عن العدد سته بقولهم ( واحد على اليد اليسرى ) وعن العدد سبعه ( اثنان على اليد اليسرى ) وهكذا... واما عن العدد عشرة فيقـولون ( كلتا اليدين ) ثم يبدأون بأصابع القدم اليمنى ثم اليسرى .

يقدم لنا علماء الاثار والمؤرخون أمثلة عديدة ومختلفة عن طرق العد والحساب البدائية عند الانسان ، أستمرت شعوب وقبائل كثيرة بأستخدامها حتى بعد الالف الاول الميلادي ، بينما طورت حضارات أخرى نظام العد والحساب منذ ألفي عام قبل الميلاد ، منهم الحضارة البابلية في وادي الرافدين وحضارة الفراعنة في وادي النيل وحضارة السند في الهند والحضارة الرومانية والاغريقية في اوربا .


استخدمت بعض الحضارات عوضا عن الاصابع ( الحصى ) ، وكلمة الحصى باللاتينية ( Calculi ) ومنها جاءت كلمة ( Calculation ) أي الحساب ، وكلمة ( Calculator ) اي الحاسب او المعداد . في اخر النصوص التي عثر عليها في اهرامات مصر كتب ما يلي ( ان روح الشيطان قد تحدت فرعونا مصريا على ان يستطيع عد اصابعه ليجتاز الامتحان بنجاح. ان أختراع الانسان للكتابة كان له أثر بالغ في تطور العد والحساب اذ وضع رموزا معينه لتمثيل الاعداد كان اقدمها اسلوب العد الممثل بالجدول رقم (1) الذي يطلق عليه النظام او الاسلوب الاحادي(Unary System ).


ويمكن ان نلاحظ ان هذا الاسلوب متعب خصوصا اذا كانت الاعداد التي نكتبها كبيرة، مما أدى في نهاية الامر ان الانسان بدأ يختصر بعض الارقام بأعطائها رموزا خاصة بدلا عن التكرار العمودي فمثلا مَثَل المصريون الرقم عشرة بالرمز ( ∩ ) وذلك حولي (3350 )ق.م. وبعض الحضارات الاخرى أستخدموا اساليب اخرى غيرها ، ولكن الامر لا يبتعد عن وجود بعض المعوقات في هذه الاستخدامات ، ما دفع الانسان دوما إلى التجديد والتطوير والبحث . والمباحث التالية لتفاصيل الانظمة العددية عند كل حضارة على حده.



..
.

[أم عبد الله]

نظام العـد البابلي



الحقيقة والتي لا تخفى على احد ان وادي الرافدين ( دجله والفرات ) و شعوبه كان احد اعمدة المجتمع الانساني في العصور الاولى ، بكل ما سكنته من حضارات وأمبراطوريات ودويلات. أولى الالواح الطينية التي اكتشفت في وادي الرافدين تعود لحوالي (2300 ) ق. م وما بعدها ، وكانت مكتوبة بالخط المسماري (الذي لا يستخدم الصور) ، ومنها استدل إلى الطريقة التي بها كتب البابليون الارقام واساليب العد ، حيث وجد ان البابليون استخدموا الطريقـة العشــرية والطريقة الستينية ( حسب عدد الاعداد الاساس التي يتكون منها النظام ففي العشري هي عشرة اعداد والستيني هي ستون عددا ) ،

لم يستطبع العلماء والاثاريون ان يستدلوا على شكل ثابت لهذه الاعداد حيث لوحظ انها اختلفت بأختلاف فترات الحكم ، ومن المؤكد انهم استخدموا الاعداد من (1) إلى (9) بخطوط عمودية كما في النظام المصري ولكنها كانت مسمارية الشكل لأستخدامهم أداة كتابة خاصة تعطي هذا الشكل وأستخدموا الرمز ( >) للعدد 10 ومثلوا الاعداد من (1) إلى (59) بتكرار رمز الواحد ورمز العشرة ، كما لابد من الاشارة إلى انعدام اهمية مكان وموضع العدد ، فيجوز كتابة العدد (23) والـذي يكتب بالشـكل ( ¡ ¡ ¡ > > ) او بالشكل ( > ¡ ¡ ¡ > ) او باي شكل اخر ،


حيث ذكرت انه لا اهمية للموقع ولا للمرتبة عندهم ، كما لا يفوتني هنا الاشارة إلى انهم استخدموا الفراغ للدلالة على عدم وجود عدد ، أي ما نعرفه اليوم بالصفر ، وكان هذا أول استخدام للصفر عبر التاريخ لكن لم يكن بالمعنى والخصائص الرياضية التي نعرفها اليوم عن الصفر، حيث كان لاستخدامه خصائص اخرى ممكن ان تكون لنا اليوم غريبة بعض الشيء لكنها ليست كذلك للذين يعرفون استخدام النظام الستيني ، والغرابة تكمن في استخدامهم للمكانة الفراغية ( أي الصفر) والعدد (60) ،

يمكن ملاحظة ذلك في طريقة كتابتهم للعدد ( ¡ ¡ فراغ ¡ ¡ ¡ > > > > ) حيث يمثل العدد التالي :- 2 + صفر + ¹60 + 43 * 60 ² = 2 + 0 + 154800 وهو ما يساوي العدد ( 154802 ) اذن نجـد ان الفراغ كان للـدلالة الىالقيمة المكانية أكثر مما لدلالة القيمة الصفرية ، من هذا يمكننا ان نستدل إلى انهم ميزوا الحاجة إلى عدد له خصائص الصفر وأسموه ( القيمة الخالية ) ، ومع مرور الزمن استخدموا الرمز ( ∑ ) للدلالة على هذه القيمة ، لكنهم لم يعطوه خصائص الصفر المعروفة لدينا اليوم.

كان البابليون مهره في علوم الرياضيات والطبيعة ، وهذه المهارة تطلبت منهم البحث والتطوير المستمر لتلبية احتياجاتهم الحياتية والعلمية ، وما كان لاكتشافهم للصفر او القيمة الفراغية بين الاعداد ونظام العد الستيني الا نتيجة لتطور بحوثهم واحتياجاتهم العلمية وهذا التطور في علوم الحساب والرياضيات اعقبه تطور مهم جدا في العلوم التي تعتمد على الحساب والرياضيات مثل علوم الفلك ، حيث لهم به مكانة مهمة وكبيرة من تقسيمات الزمن والتي لحد يومنا هذا نستخدمها ، فكثير منا لم ينتبه إلى اننا نقسم الساعة إلى ستين دقيقة والدقيقة إلى ستين ثانية ، فهي ليست سوى التقسيم البابلي الستيني للاعداد والذي اعتمدوه منذ ذلك الوقت ، وكذلك أشهر السنة وعدد ايام الشهر وما غير ذلك .



..
.

[أم عبد الله]

نظام العد المصري



لعل من محاسن تطور الاعداد لدى قدماء المصريين ( الفراعنة ) هو ارتباطها بطريقة الكتابة الهيروغليفية ، التي اعتمدت على استخدام الصور والحالة التصويرية اي انها كتابة صورية الامر الذي دعى الفراعنة إلى استخدام الاشكال الصورية حتى في كتابة الاعداد وهذا الامر اختصر من الزمن الكثير في تطور الاعداد لديهم ، فكما لاحظنا عند البابليين انهم احتاجو إلى وقت طويل إلى الوصول إلى حالة استخدام الرموز في كتابة الاعداد بدلا عن النظام الاحادي في الكتابة والترميز للاعداد الذي يعتمد إلى شكل واحد وتكراراته . نظام العد المصري اعتمد على نظام العشري واستقوه من عدد اصابع اليدين وهذا كان له محاسنه ومساوئه ، من محاسنه انه نظام غير معقد سهل الاستخدام للاشخاص العادين لتعود العين والحواس البشرية على العدد عشرة ومضاعفاته كوننا خلقنا بعشرة اصابع ، فعقلنا لا يحتاج إلى تعليم وادراك وتخيل اعدادا من ستين رقما كما في نظام العد البابلي .

ومن مساوئه كفايته للقدماء المصرين ولم يجبروا على البحث والتطوير كما حدث مع البابليين مما ادى إلى توقف تطور العلوم الاخرى المتعلقة بالحساب والرياضيات .



ابتكر المصريون للنظام العشري الخانات والمراتب وكان هذا ابتكارا كبيرا لاحقا لتطور الاعداد ، حيث قسموا العدد إلى مراتبه من الاحاد والعشرات والمئات والى اخره ، ووضعوا رمزا خاصا للرقم في كل مرتبة من المراتب وكانوا يكررون هذا الرمز بمقدار قيمة الرقم في الخانة الخاصة به ويمكن ملاحظة ذلك في الجدول رقم (2) ، ولم يكن في نظامهم اي اهمية لموقع المرتبة او القيمة المكانية ولم نجد رمزا خاصا للصفر والسبب يعود لانهم استقوا هذا النظام من اصابع اليدين فلم بعرفوا الصفر لاستحالة وجود شخص بدون اصابع اطلاقا .

وكمثال للكيفية التي بها كتب الفراعنة والمصرين الاعداد نكتب عددا من مرتبة الملايين كما التالي :

(1320033 ) ويمكن ان نستنتج صعوبة اجراء العمليات الحسابية لكبر حجم الاعداد واشكاليات كتابتها من حيث الرموز المستخدمة وهذا سبب يؤكد لنا عدم تطور الرياضيات بصورة واضحة عند المصريين وعدم اعتماد حضارات اخرى هذا الاسلوب في كتابة الاعداد ، هذا ما وجده اللغويين ايضا في ان الحروف الهيروغليفية لم تنتقل إلى حضارات اخرى واوعزوه إلى الصيغة الصورية في كتابة الاحرف وصعوبة التعبير فيها.



..
.

[أم عبد الله]

نظام العد الإغريقي


عرف الإغريق بأنهم حضارة أتصلت أتصال تجاري مع الحضارات المجاورة لها ، وخاصة حضارات حوض البحر الابيض المتوسط ، وعرفوا فلسفة هذه الامم وأساطيرها وفنونها ومعارفها. ومن الحضارات الكبيرة التي جاورتهم هي حضارة الفراعنة في مصر ، وكان ذلك حوالي القرن السابع قبل الميلاد ، ونهل الإغريق من كهنة المصريين الكثير من العلوم والمعرفة، حيث نفلت طرق المصريين في المعارف إلى الاغريق وهذا ما يتضح من طريقة الاغريق في كتابة الاعداد المشابهة للمصريين .



كما ذكرت ان الاغريق اخذوا من الحضارات المجاورة لها الكثير وهذا ايضا ينطبق على الاعداد والنظم العددية قكان تأذير الفراعنة واضح وكذلك تأثير العرب والاراميين ، فكان نظام العد الاغريقي نظام معقد وصعب ليس فقط في كتابة الاعداد وانما في اجراء العمليات الحسابية ايضا ، والحقيقة ان اغلب الانظمة العددية التي تعتمد في اعدادها الرموز لقاعدة عريضة وطويلة من الاعداد كانت تواجهة صعوبة في اجراء العمليات الحسابية ، وهذا ما سوف نحلله لاحقا في مباحث اخرى من هذا الكتاب. لمزج الاغريق الاحرف الابجدية مع رموز اعدادهم تمثلت الصعوبة في نظام العد الاغريقي الامر الذي بالتالي ادى إلى تأخرهم بالرياضيات بصورة خاصة مما لهذه الصعوبات العدبدة وما خلقته من مصاعب ومشاكل.

وجد للاغريق نظامان عدديان ا

لاول متاخر والثاني قد تطور بعض الشييء ،


وهذا لابد حدث لاستمرارهم بالاتصل بالحضارات القديمة ويمكنانهم في الاول اخذوا الشيء الكثير من الفراعنة واستحدثوا نظامهم العددي الاول او القديم الواضح في الجدول رقم ( 3 ) السابق ويمكن لنا من الجدول السابق رفم (2) ملاحظة القرب بين الاغريق والفراعنة ، وكذلك نلاحظ ان الاغريق أول من اهتم بالعدد خمسة (5) ومضاعفاته العشـرية (50) ، (500) ، (50000) وهذه حالة جديدة في ان بجعلوا لها رموز في النظم العددية عادة ما استخدمن الحضارات الانسانية مضاعفات العــدد عشره ، وانا بحقيقة الامر اوعز ذلك للانتشار الاغريقي الكبير على عدة سواحل افريقية وشرق اوسطية وغيرها وهذه السواحل يسكنها اقوام وقبائل مختلفوا المعرفة وكما ذكرنا سابقا ان هنلك حضارات استخدمت اصابع اليد الواحدة وما سوى ذلك فأطلق عليه كثير ، وممكن ان الاغريق في تجارتهم احتاجوا إلى مضاعفات الخمسة العشرية في تجاراتهم معهم ، وهذه الحضارات هي من حضارات العالم القديم ، وما يؤكد افتراضي هذا انهم اي الاغريق احتاجوا بعد مدة من الزمن ان يطوروا نظام العد الخاص بهم إلى نظام اطلقوا عليه نظام العد الجديد وفيه لم يتم التركيز على مضاعفات الخمسة العشرية .

هذا النظام العددي الجديد للاغريق انهم استغنوا عن النظام الاحادي من العدد (1) إلى العدد (9) واستخدموا احرف ابجدية بدلا عنها ، وتوسعوا بتحديد الاعداد من العدد (10) إلى العدد (900) برموز حرفية لكل منها حتى اصبحت الاعداد لديهم سبعه وعشرون عددا ، لكن دون اية اهمية لموقع العدد او الفيمة المكانية له.


..
.

[أم عبد الله]

«®°·.¸.•°°·.¸¸.•°°·.¸.•°®»� �ظام العد الروماني


اعتمد الرومان على الاغريق فيى مختلف علومهم ومعارفهم ، هذا ممكن ان يعود إلى تقارب اللغتين والتقارب الجغرافي فيما بينهم ، وكذلك ان الاغريق نقلوا الكثير من علوم ومعارف حضارات اخرى إلى الاغريقية من ترجمات وغيرها ، بالحقيقة كان هذا كنزا كبيرا للرومان كنز جاهز ومختلف كثيرا عن العلوم المعروفة في وقتها عند الرومان .

من هذا الكنز الوفير مزج الرومان تركيبتهم الخاصة من النظام العددي، فلقد استخدموا النظام العشري مع الاحتفاظ بالرموز في تمثيل الاعداد ،حيث قسموا الاعداد إلى اعداد اساسية كما اسموها والتي هي ( 5 ، 10 ، 50 ، 100 ، 500 ، 1000 ) ومثلوها برموز وهي على التوالي ( v ،x ، l ، c ، d ، m ) واعداد غير اساسية والتي هي ( 1 ، 2 ، 3 ) ومثلوها بالنظام الاحادي والتي هي على التوالي ( i ، ii ، iii ) وكذلك استخدموا الصيغة المكانية في كتابة العدد فالعدد الغير اساسي على اليمين فهو يجمع أما على اليسار فهو يطرح من الاعداد الاساسية ، لكن في الواقع كان هذا التطور عقبة في التطور البعيد للنظام العددي لديهم .


في الحقيقة ان النظام العددي الروماني لم يتطور بهذه السهولة كما ادرجت سابقا لكنه قد مره بعدة حقبات ففي وقت لاحق من نظامهم العشري الاول اكتشفوا انهم في مرحلة بدائية جدا ، الامر الذي اجبرهم للرجوع إلى المعارف الاغريقية وخلق وابتداع نظامهم العشري الجديد الذي هو في حقيقة الامر مزيج من النظام الخمسي والعشري، فالعدد واحد رمزوا له بالاصبع الواحد أي بخط رأسي والعدد خمسة رمزوا لها باليد الواحدة ذات الاصابع الخمسة ، ولما كان الابهام يتجه اتجاها اخرا عن باقي اصابع اليد فرسموا اليد هكذا ( ٧ ) وبالتالي فالعشرة كانت عبارة عن كلتا اليدين فكتبوا خمسة وتحتها خمسة مقلوبة للاسفل وكان يفصل بينهما فاصل بسيط للتمييز انهما خمستان ( ٧ ) ثم مع مرور الزمن كتبوها بدون الفاصل بينهما فاصبحت كما معروفة اليوم بالحرف اللاتيني ( x ) ، والعدد اثنين كرروا رمز الواحد مرتان وهكذا مع العدد ثلاثة اما باقي الاعداد فكانت طريقة الجمع والطرح حسب موقع العدد غير الاساسي من العدد الاساسي .


بقي الرومان يستخدمون هذه الطريقة حتى الالف الثاني بعد الميلاد ، وكان تطور النظام العددي لديهم مرتبط ارتباطا وثيقا بتطور اللغة اللاتينية فيما بعد ، والكثير من دارسي الانظمة العددية علفوا تطور الانظم العددية عند الرومان بحاجة اللغة اللاتينية لها وليس للحاجة الحسابية البحتة ، وهذا سبب كافي لتلكؤ تطورها لكون الذين عملوا بهذا التطور كانوا لغويين لا غير .


الكثير من الباحثين الاوربيين الاوربيين في القرون الاولى بعد الميلاد اعتبروا النظام العددي الروماني هو فمة فخر تطور الانسانية ، لكن بالحقيقة كانت هنلك حضارات اخرى عديدة على الكرة الارضية لديها من الانظمة العددية ما هو متطور جدا عما للرومان ، كانوا على سبيل المثال لا الحصر يعتقدون ان استخدامهم للمكان ( الموفعية ) في كتابة الاعداد هو فمة هذا التطور ، بل على الع** نرى ان هذا الامر كان المعرقل الكبير في تطور نظامهم هذا ن غهم لم يستخدموا الموقعية لقيمة الرقم كما سنرى ذلك عند الهنود وكما نطلق عليه اليوم الخانات ( الاحاد والعشرات والخ ) ،


ونرى هذا بدقة عندما نرغب بكتابة العدد ( 1988 ) بالنظام الروماني :


( mcmlxxxviii ) لاحظ ان قراءة العدد يجب ان تكون من جهة اليمين وحوالي العدد الاساسي الاكبر كما في الرقم ثمانين هنا في مثالنا اعلاه ، كانت العمليات الحسابية جدا معقدة بهذا النظام ومتعبة غي نفس الوقت ، ما تجدر الاشارة اليه هنا هو عدم استخدامهم للصفر ولا نجد له اي رمز او إشارة وكثيرة هي اسباب عرقلة هذا النظام لاحقا .


..
.«®°·.¸.•°°·.¸¸.•°°·.¸.•°®»