Amel2005
23-11-2007, 04:15 AM
بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
هندسة الفراكتال ... أو... الهندسة الكسرية
Fractal Geometry
ماذا يعنى هذا المفهوم ؟ ولم أصبح محل اهتمام التربويين فى هذه الفترة ؟ وهل تمثل بعدا غائبا فى الرياضيات المدرسية الحالية ؟
وكيف يمكن دمجها في الرياضيات المدرسية بالتعليم لأساسي كإثراء في الرياضيات ، أو حتى كموضوع منفصل بالتكامل محاور الهندسة ؟.
سأحاول التطرق لما وجدته من بحث ... وأتمنى المشاركة ممن لديه فكرة ... وفقكم الله ...،
هندسة الكسور....هندسة الفراكتال
أطلق عليها هندسة كسرية Fractals
توصل العلماء في السبعينيات من القرن العشرين إلى مكون رياضي جدير في الهندسة ... وأطلق عليه هندسة الفراكتال كما أسماه بذلك مانيلبورت الذي حدد لها مجموعة من المسلمات التي يمكن أن تختص بها الأشكال الفراكتالية دون غيرها في الأنساق الهندسية،
وهندسة الفراكتال تبحث في وصف خصائص الأشكال في الطبيعة، ولذلك فهي تهتم بالتحقق من الخصائص الرياضية لبعض الأشكال والظواهر الطبيعية ومحاولة تفسيرها وفقاً لخصائصها الفراكتالية، ولذلك فإن هندسة الفراكتال تربط وبشكل كبير المتعلم لها بالعالم المحيط به، وتغيراً لأشكال في الطبيعة من الجانب الرياضي مما يثري التفكير الرياضي لدى المتعلمين، ويجعل من الرياضيات بيئة للفهم والتفكير اللذين يساعدا المتعلمين على تطوير وظيفة الرياضيات.
********************
مع نهاية القرن العشرين تطور تعليم الرياضيات تطوراً مذهلاً، فانتقل بالمتعلمين من التركيز على حفظ الحقائق وتطبيق الخوارزميات الرياضية إلى اكتشاف قوة الرياضيات ودورها في تنمية تفكيرهم من خلال التطبيقات الحياتية والمجتمعية للرياضيات، ومع التطور التقني والتكنولوجي في السنوات الأخيرة تطور استخدام تكنولوجيا التعليم في تعليم الرياضيات، وبرز ذلك في الأدوار المتعددة لاستخدامات الكمبيوتر من برامج تعليمية متخصصة وكذلك شبكة المعلومات Internet، بالإضافة إلى الأدوار المؤثرة للآلات الحاسبة البيانية ( Graph Calculators) في تنمية مهارات المتعلمين النوعية سواء في جال حل المعادلات والدوال أو معالجة البيانات إحصائياً.
********************
هذا التطور في مجال تعليم الرياضيات أدى إلى توجيه اهتماماً أكبر في بنية الرياضيات المعرفية وعلاقة الرياضيات بمكونات العلوم الطبيعية الأخرى، فالأشياء في الطبيعة لها خصائص الطبيعة ومنها الخصائص الرياضية المكونة لهذه الأشياء ومن هناك كان البحث عن تغير رياضي لتكون الأشياء في الفلك وعلوم البيئة والظواهر الجوية. وعندما فكر مانديلبورت Mandelbrot في أن السحب ليست كرات وأن الجبال ليست مخاريط، والسواحل ليست دوائر فقد بدأ في اكتشاف نوع جديد من التركيب الهندسي البديع أطلق عليه هندسة الفراكتال Fractal Geometry وتعنى بالبحث في المكونات الجزئية للأشكال الرياضية أو الأشياء في الطبيعة وفقاً لمجموعة من الخصائص الرياضية.
ويذكر نايلور (Naylor, 1999) أن الفراكتلات تقدم لنا أشكالاً ذات قيمة جمالية كبيرة وهي ترتبط بشكل مباشر في كيفية تنظيم العالم من حولنا، ومن وجهة نظر معظم معلمي الرياضيات فإنها تفجر طاقات الإبداع والخيال عند المتعلمين، ويعتبر تدريس هندسة الفراكتال ذو أهمية كبيرة في إثراء وتنمية تفكير المتعلمين الذي يعتبر من أهم أهداف تعليم الرياضيات؛
فتنمية الحس المكاني والحدس بالشكل من المحاور التي يرى عبيد (1998) أنها تشكل التوجهات العامة لتعليم الرياضيات في المستقبل، ويذكر أن عالم الهندسة المتواجدة في عالم الحقيقية يتطلب تربيضاً من خلال هندسة حدسية وهندسة تحويلية وهندسة استدلالية وهندسة تحليلية، وهندسة اتجاهية، وإضافة خصائص بتولوجية والتعرف والتعامل مع أنماط هندسية تتكون من إيقاعات تكرارية لوحدات هندسية صغيرة أطلق عليها هندسة كسرية Fractals .
ابتكر مانديلبروت Mandelbrot كلمة فراكتال Fractal لتصف وتشرح العديد من الظواهر الطبيعية، وتأتي كلمة فراكتال من الفعل اللاتيني Franger والذي يعني يفتت أو يكسر، وهذا الفعل يرتبط بوصف الخصائص الطبيعية للأشياء، فهي تبدو "مفتتة" غير مستوية في أشكال مركبة ومعقدة مثل التغيرات المتعرجة جداً لساحل جزيرة.
كما أن كلمة فراكتال تأتي من الكلمة اللاتينية Fiactious وتعني تكسير أو تفتيتي، وهي تصنف مجموعات غي عادية من الخطوط والنقط والتعرجات،
وللكمة شقين
الأول وهو الفراكتلات الطبيعية وهي الأشكال والأشياء المرتبطة بالطبيعة والمرتبطة بالعلوم،
والثاني في الرياضيات والذي يهتم بدراسة مجموعة الفراكتلات التي غالباً يكون لها جذور في نظرية الفوضى Chaoes theory .
ويشير البعض إلى أن مانديلبورت هو مؤسس وواضع خصائص هندسة الفراكتال بالضبط كما وأسس إقليدس Euclid للهندسة الإقليدية وبتجديد مانديلبروت لأهم خصائص هندسة الفراكتال فإن مصطلحاً مثل الهندسة الماندلية (Mandelbort geometry) يمكن قبوله للإشارة إلى هندسة الفراكتال على اعتبار أن الهندية الماندلية تتعامل وفقاً لخصائص فريدة قدمها ماندلبروت في كتابه (The Fractal Geometry of Nature) الذي نشر عام 1983.
********************
هناك عدة تعريفات تصف هندسة الفراكتال:
* يعرفها كلاقام (Clapham) على أنها مجموعة من النقط لا تتكامل أبعادها المتجزئة أو أي مجموعة ذات تركيب مماثل؛ فتعتبر الفراكتلات مجموعة ذات تراكيب غير منتهاة التعقيد، وعادة ما تحتوي على بعض القياسات ذات التشابه، فأي جزء تحتوي داخلها تعبر صورة مصغرة للمجموعة كلها.
********************
* يعرف الفراكتال في القاموس الإلكتروني على أنه نمط هندسي يتكرر على مقاييس تتزايد في الصغر وتؤدي إلى أشكال وأسطح غير منتظمة لا يمكن تمثيلها من خلال خصائص الهندسة الإقليدية www. Dictionary. Com.
********************
* تصف راندي Randi هندسة الفراكتال بأنها هندسة الطبيعة نظراً لارتباطها بالأشياء الطبيعية، وللظواهر الطبيعية.
********************
ويمكن أن تعرف هندسة الفراكتال على أنها تلك التراكيب الهندسية في الأشياء الطبيعية وهذه التراكيب لها خصائص تميزها عن غيرها من الأبعاد الهندسية، وهي بذلك ترتبط ببحث الكسوريات الصغيرة بل المتناهية في الصغر المكونة لتلك الأشياء في الطبيعية.
وقد أصبحت الفراكتلات جزءاً من الرياضيات، فبالإَضافة إلى تقديمها إمكانية تكوين الأشكال والصور بشكل جذاب وجميل فإنها أيضاً تقدم لنا إطاراً نظرياً لتطوير موضوعات أخرى، مثل تمثيل الظواهر الطبيعية كنمو الخلايا البكتيرية أو نمزجة الأشياء مثل النباتات وغيرها.
ونخلص مما سبق إلى وصف هندسة الفراكتال على أنها:
* أشكال هندسية غير منتظمة تتكون من أجزاء غير منتهية متداخلة بمختلف القياسات.
* تلك الصور التي تنتج من تكرار المعادلات اللاخطية.
* أشكال هندسية نتجت أو نمت نتيجة تطبيق بعض القواعد الرياضية عليها، وهذه القواعد تأخذ الشكل الأساسي وتنقله من خطوة إلى خطوة إما بالإضافة إليه أو بتطويره، وهذه العمليات يمكن أن تكرر بعدد غير منته من المرات.
* أشكال هندسية تنتج من تقسيم الشكل الأساسي إلى أجزاء صغيرة، وكل جزء هو صورة مصغرة من الشكل الأساسي
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
هندسة الفراكتال ... أو... الهندسة الكسرية
Fractal Geometry
ماذا يعنى هذا المفهوم ؟ ولم أصبح محل اهتمام التربويين فى هذه الفترة ؟ وهل تمثل بعدا غائبا فى الرياضيات المدرسية الحالية ؟
وكيف يمكن دمجها في الرياضيات المدرسية بالتعليم لأساسي كإثراء في الرياضيات ، أو حتى كموضوع منفصل بالتكامل محاور الهندسة ؟.
سأحاول التطرق لما وجدته من بحث ... وأتمنى المشاركة ممن لديه فكرة ... وفقكم الله ...،
هندسة الكسور....هندسة الفراكتال
أطلق عليها هندسة كسرية Fractals
توصل العلماء في السبعينيات من القرن العشرين إلى مكون رياضي جدير في الهندسة ... وأطلق عليه هندسة الفراكتال كما أسماه بذلك مانيلبورت الذي حدد لها مجموعة من المسلمات التي يمكن أن تختص بها الأشكال الفراكتالية دون غيرها في الأنساق الهندسية،
وهندسة الفراكتال تبحث في وصف خصائص الأشكال في الطبيعة، ولذلك فهي تهتم بالتحقق من الخصائص الرياضية لبعض الأشكال والظواهر الطبيعية ومحاولة تفسيرها وفقاً لخصائصها الفراكتالية، ولذلك فإن هندسة الفراكتال تربط وبشكل كبير المتعلم لها بالعالم المحيط به، وتغيراً لأشكال في الطبيعة من الجانب الرياضي مما يثري التفكير الرياضي لدى المتعلمين، ويجعل من الرياضيات بيئة للفهم والتفكير اللذين يساعدا المتعلمين على تطوير وظيفة الرياضيات.
********************
مع نهاية القرن العشرين تطور تعليم الرياضيات تطوراً مذهلاً، فانتقل بالمتعلمين من التركيز على حفظ الحقائق وتطبيق الخوارزميات الرياضية إلى اكتشاف قوة الرياضيات ودورها في تنمية تفكيرهم من خلال التطبيقات الحياتية والمجتمعية للرياضيات، ومع التطور التقني والتكنولوجي في السنوات الأخيرة تطور استخدام تكنولوجيا التعليم في تعليم الرياضيات، وبرز ذلك في الأدوار المتعددة لاستخدامات الكمبيوتر من برامج تعليمية متخصصة وكذلك شبكة المعلومات Internet، بالإضافة إلى الأدوار المؤثرة للآلات الحاسبة البيانية ( Graph Calculators) في تنمية مهارات المتعلمين النوعية سواء في جال حل المعادلات والدوال أو معالجة البيانات إحصائياً.
********************
هذا التطور في مجال تعليم الرياضيات أدى إلى توجيه اهتماماً أكبر في بنية الرياضيات المعرفية وعلاقة الرياضيات بمكونات العلوم الطبيعية الأخرى، فالأشياء في الطبيعة لها خصائص الطبيعة ومنها الخصائص الرياضية المكونة لهذه الأشياء ومن هناك كان البحث عن تغير رياضي لتكون الأشياء في الفلك وعلوم البيئة والظواهر الجوية. وعندما فكر مانديلبورت Mandelbrot في أن السحب ليست كرات وأن الجبال ليست مخاريط، والسواحل ليست دوائر فقد بدأ في اكتشاف نوع جديد من التركيب الهندسي البديع أطلق عليه هندسة الفراكتال Fractal Geometry وتعنى بالبحث في المكونات الجزئية للأشكال الرياضية أو الأشياء في الطبيعة وفقاً لمجموعة من الخصائص الرياضية.
ويذكر نايلور (Naylor, 1999) أن الفراكتلات تقدم لنا أشكالاً ذات قيمة جمالية كبيرة وهي ترتبط بشكل مباشر في كيفية تنظيم العالم من حولنا، ومن وجهة نظر معظم معلمي الرياضيات فإنها تفجر طاقات الإبداع والخيال عند المتعلمين، ويعتبر تدريس هندسة الفراكتال ذو أهمية كبيرة في إثراء وتنمية تفكير المتعلمين الذي يعتبر من أهم أهداف تعليم الرياضيات؛
فتنمية الحس المكاني والحدس بالشكل من المحاور التي يرى عبيد (1998) أنها تشكل التوجهات العامة لتعليم الرياضيات في المستقبل، ويذكر أن عالم الهندسة المتواجدة في عالم الحقيقية يتطلب تربيضاً من خلال هندسة حدسية وهندسة تحويلية وهندسة استدلالية وهندسة تحليلية، وهندسة اتجاهية، وإضافة خصائص بتولوجية والتعرف والتعامل مع أنماط هندسية تتكون من إيقاعات تكرارية لوحدات هندسية صغيرة أطلق عليها هندسة كسرية Fractals .
ابتكر مانديلبروت Mandelbrot كلمة فراكتال Fractal لتصف وتشرح العديد من الظواهر الطبيعية، وتأتي كلمة فراكتال من الفعل اللاتيني Franger والذي يعني يفتت أو يكسر، وهذا الفعل يرتبط بوصف الخصائص الطبيعية للأشياء، فهي تبدو "مفتتة" غير مستوية في أشكال مركبة ومعقدة مثل التغيرات المتعرجة جداً لساحل جزيرة.
كما أن كلمة فراكتال تأتي من الكلمة اللاتينية Fiactious وتعني تكسير أو تفتيتي، وهي تصنف مجموعات غي عادية من الخطوط والنقط والتعرجات،
وللكمة شقين
الأول وهو الفراكتلات الطبيعية وهي الأشكال والأشياء المرتبطة بالطبيعة والمرتبطة بالعلوم،
والثاني في الرياضيات والذي يهتم بدراسة مجموعة الفراكتلات التي غالباً يكون لها جذور في نظرية الفوضى Chaoes theory .
ويشير البعض إلى أن مانديلبورت هو مؤسس وواضع خصائص هندسة الفراكتال بالضبط كما وأسس إقليدس Euclid للهندسة الإقليدية وبتجديد مانديلبروت لأهم خصائص هندسة الفراكتال فإن مصطلحاً مثل الهندسة الماندلية (Mandelbort geometry) يمكن قبوله للإشارة إلى هندسة الفراكتال على اعتبار أن الهندية الماندلية تتعامل وفقاً لخصائص فريدة قدمها ماندلبروت في كتابه (The Fractal Geometry of Nature) الذي نشر عام 1983.
********************
هناك عدة تعريفات تصف هندسة الفراكتال:
* يعرفها كلاقام (Clapham) على أنها مجموعة من النقط لا تتكامل أبعادها المتجزئة أو أي مجموعة ذات تركيب مماثل؛ فتعتبر الفراكتلات مجموعة ذات تراكيب غير منتهاة التعقيد، وعادة ما تحتوي على بعض القياسات ذات التشابه، فأي جزء تحتوي داخلها تعبر صورة مصغرة للمجموعة كلها.
********************
* يعرف الفراكتال في القاموس الإلكتروني على أنه نمط هندسي يتكرر على مقاييس تتزايد في الصغر وتؤدي إلى أشكال وأسطح غير منتظمة لا يمكن تمثيلها من خلال خصائص الهندسة الإقليدية www. Dictionary. Com.
********************
* تصف راندي Randi هندسة الفراكتال بأنها هندسة الطبيعة نظراً لارتباطها بالأشياء الطبيعية، وللظواهر الطبيعية.
********************
ويمكن أن تعرف هندسة الفراكتال على أنها تلك التراكيب الهندسية في الأشياء الطبيعية وهذه التراكيب لها خصائص تميزها عن غيرها من الأبعاد الهندسية، وهي بذلك ترتبط ببحث الكسوريات الصغيرة بل المتناهية في الصغر المكونة لتلك الأشياء في الطبيعية.
وقد أصبحت الفراكتلات جزءاً من الرياضيات، فبالإَضافة إلى تقديمها إمكانية تكوين الأشكال والصور بشكل جذاب وجميل فإنها أيضاً تقدم لنا إطاراً نظرياً لتطوير موضوعات أخرى، مثل تمثيل الظواهر الطبيعية كنمو الخلايا البكتيرية أو نمزجة الأشياء مثل النباتات وغيرها.
ونخلص مما سبق إلى وصف هندسة الفراكتال على أنها:
* أشكال هندسية غير منتظمة تتكون من أجزاء غير منتهية متداخلة بمختلف القياسات.
* تلك الصور التي تنتج من تكرار المعادلات اللاخطية.
* أشكال هندسية نتجت أو نمت نتيجة تطبيق بعض القواعد الرياضية عليها، وهذه القواعد تأخذ الشكل الأساسي وتنقله من خطوة إلى خطوة إما بالإضافة إليه أو بتطويره، وهذه العمليات يمكن أن تكرر بعدد غير منته من المرات.
* أشكال هندسية تنتج من تقسيم الشكل الأساسي إلى أجزاء صغيرة، وكل جزء هو صورة مصغرة من الشكل الأساسي