t.salah93
04-12-2007, 05:31 PM
هندسة الدائرة
إعداد
الموجه الفني أ . منصور الخولي
إشراف
أ .حسين على عبدالله
موجه اول الرياضيات – منطقة العاصمة التعليمية
تعريف :
الدائرة هى مجموعة نقط المستوى التى تكون على أبعاد متساويه
من نقطة ثابتة فى المستوى.
*تسمى النقطة الثابتة مركز الدائرة.
*يسمى البعد الثابت طول نصف القطر.
نصف قطر الدائرة: قطعة مستقيمة طرفاها مركز الدائرة واحدى نقاط الدائرة.
وتر الدائرة: قطعة مستقيمة طرفاها نقطتين مختلفتين من نقاط الدائره.
قطر الدائرة : هو وتر فى الدائرة يمر بمركزها.
تطابق دائرتين : يقال لدائرتان أنهما متطابقتان إذا تساوى طولا نصف قطريهما.
يلاحظ أن:
1- الدائره تجزئ مجموعة نقاط المستوى إلى ثلاث مجموعات هى :-
أ) مجموعة نقاط الدائرة
ب) مجموعة نقاط داخل الدائرة
ج) مجموعة نقاط خارج الدائرة
2- مجموعة النقاط داخل الدائرة اتحاد مجموعة نقاط الدائرة تسمى منطقة دائرية.
3- كل مستقيم يمر بمركز الدائرة هو محور تماثل لها.
موضع نقطة بالنسبة لدائرة :
لمعرفة موضع نقطة بالنسبة لدائرة طول نصف قطرها نق نعين البعد بين النقطة ومركز الدائرة وليكن ل فإذا كانت
1. ل < نق كانت النقطة خارج الدائرة.
2. ل = نق كانت النقطة هى احدى نقاط الدائرة ، تقع على الدائرة.
3. ل > نق كانت النقطة داخل الدائرة.
موضع مستقيم بالنسبة لدائرة :
لمعرفة موضع مستقيم بالنسبة لدائرة طول نصف قطرها نق نعين بعد مركز الدائرة عن المستقيم وليكن ل فإذا كان
1. ل < نق كان المستقيم يقع خارج الدائرة.
2. ل = نق كان المستقيم مماس للدائرة.
3. ل > نق كان المستقيم قاطع للدائرة.
والعكس صحيح ...
( 1 )
موضع دائرة بالنسبة لدائرة أخرى :
ليكن نق1 ، نق2 طولا نصفي قطري دائرتين ، ل هو البعد بين مركزى الدائرتين
تكون
1. الدائرتان متحدتا المركز إذا كان ل = صفر.
2. الدائرتان متباعدتان إذا كان ل < نق1+ نق2.
3. الدائرتان متداخلتان إذا كان ل > نق1- نق2 . ( حيث نق1 < نق2)
4. الدائرتان متماستان من الخارج إذا كان ل = نق1 + نق2. ( مماس مشترك)
5. الدائرتان متماستان من الداخل إذا كان ل = نق1 – نق2. ( حيث نق1 < نق2)
6. الدائرتان متقاطعتان إذا كان نق1 – نق2 > ل > نق1 + نق2 .
الدائرة الخارجة لمثلث :
هى دائرة مارة برؤو س المثلث .
(ملاحظة : يوجد تعريف آخر للدائرة الخارجة لمثلث.)
الشكل الرباعى الدائرى:
إذا مرت دائرة برؤوس شكل رباعى سمى الشكل (شكل رباعى دائرى).
القوس:
بفرض أ ، ب نقطتان منتميتان إلى دائرة مركزها م فإن مجموعة نقاط الدائرة والتى تبدأ من النقطة أ وتنتهى عند النقطة ب أو العكس تسمى قوسا فى الدائرة ويرمز لها بالرمز.
أ ب أ جـ ب
القوس الأصغر القوس ألأكبر
إذا كان أ ب قطر فإن أ ب يسمي نصف دائرة
( 2 )
القطر ، الوتر:
1- قطر الدائرة المار بمنتصف وتر يكون عمودياً على هذا الوتر.
2- قطر الدائرة العمودى على وتر فيها ينصف هذا الوتر.
3-المستقيم العمودى على وتر فى الدائرة من منتصفه يمر بمركز الدائرة.
ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــ
المماس:
1- نصف قطر الدائرة عمودى على المماس.
2- المستقيم العمودى على نصف قطر الدائرة عند نقطة نهايته التى تنتمى للدائرة يكون
مماساً لهذه الدائرة عند هذه النقطة.
خط المركزين:
1- خط المركزين لدائرتين متقاطعتين عمودى على الوتر المشترك وينصفه.
( 3 )
2- إذا كانت الدائرتان متماستان من الخارج أو من الداخل فإن خط المركزين يكون عمودياً على المماس المشتترك لهما.
ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ
تعيين الدائرة:
كل ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة تمر بها دائرة واحدة.
ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ــــــ
الأوتار ، مركز الدائرة:
1- الأوتار المتساوية الطول فى دائرة تكون على أبعاد متساوية من مركزها
( إذا كان أ ب = س ص فإن م جـ = م ع)
2- فى الدوائر المتطابقة : الأوتار المتساوية الطول تكون على أبعاد متساوية من المركز.
3- فى الدائرة الواحدة أو فى الدوائر المتطابقة الأوتار التى على أبعاد متساوية من المركز تكون متساوية الطول.
ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــ
• الزاوية المركزية : هي زاوية رأسها مركز الدائرة
• الزاوية المحيطية : هي زاوية ينتمي رأسها للدائرة وتحصر بين ضلعيها
قوسا من الدائرة
* قياس القوس : هو قياس الزاوية المركزية المقابلة لهذا القوس
يلاحظ أن قياس القوس لا يعني طول القوس
ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ــــــــــ
( 4 )
نتائج :
1 ) في الدائرة الواحدة ( أو في الدوائر المتطابقة ) إذا تساوي قياسا قوسين
فإنهما يتساويان في الطول .
2 ) في الدائرة الواحدة ( أو في الدوائر المتطابقة ) إذا تساوي قياسا قوسين
فإن وتريهما يكونا متساويين في الطول
3 ) الوتران المتوازيان في دائرة يحصران قوسين متساويين في القياس
4 ) القوسان المحصوران بين وتر ومماس للدائرة يوازي الوتر متساويان في
القياس
،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،
نظرية :
قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس الزاوية المركزية المرسومتان
علي قوس واحد
نتيجة : الزاوية المحيطية المرسومة علي قطر الدائرة قائمة
،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،
نظرية :
في الدائرة الواحدة الزوايا المحيطية المرسومة علي نفس القوس متطابقة
نتيجة : في الدائرة الواحدة أو في الدوائر المتطابقة الزوايا المحيطية التي
تحصر أقواسا متساوية في القياس تكون متساوية في القياس .
والعكس صحيح
،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، ،،،،،،،،،،،،،،،،،،
نظرية :
إذا تساوي قياسا زاويتين مرسومتين علي قاعدة واحدة وفي جهة واحدة منها
فإنه يمر برأسيهما دائرة واحدة تكون هذه القاعدة وترا فيها
نتيحة : إذا تساوت قياسات عدة زوايا مرسومة علي قاعدة واحدة وفي جهة واحدة منها فإن رءوسها تقع علي دائرة واحدة
نتيجة : الشكل الرباعي الذي فيه زاويتان مرسومتان علي أحد أضلاعه ورأسيهما رأسان في الشكل ومتطابقتان يكون شكلا رباعيا دائريا
ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــ
( 5 )
المماسات والزوايا المماسية :
نظرية : القطعتان المماستان لدائرة والمرسومتان من نقطة خارجها متطابقتان
نتيجة : 1 ) المستقيم المار بمركز دائرة ونقطة تقاطع مماسين لها يكون محورا لوتر
التماس لهاذين المماسين.
2 ) المستقيم المار بمركز دائرة ونقطة تقاطع مماسين لها ينصف الزاوية
بين هذين المماسين وينصف الزاوية بين نصفي القطرين المارين بنقطتي
التماس .
ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــ
تعريف : الدائرة الداخلة لمثلث ( أو مضلع ) هي الدائرة التي تمس أضلاعه جميعها
ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ
تعريف :
الزاوية المماسية هي زاوية رأسها إحدي نقاط الدائرة وأحد ضلعيها نصف
مماس للدائرة والآخر يحمل وترا فيها .
• قياس الزاوية المماسية يساوي نصف قياس القوس المحصور بين ضلعيها.
نظرية :
قياس الزاوية المماسية يساوي قياس الزاوية المحيطية المرسومة علي
وتر التماس من الجهة الاخري
ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــ
( 6 )
مثال :
دائرة مركزها م ، أ ب ، جـ د وتران في الدائرة بحيث أ ب // جـ د
، ب هـ = جـ و . اثبت أن أ هـ // و د
مثال : ↔
مـ ، ن دائرتان متماستان من الخارج في نقطة أ ، ب جـ مماس
للدائرتين في ب ، جـ . رسم ب أ فقطع الدائرة ن في د ، رسم
جـ أ فقطع الدائرة مـ في هـ .
اثبت أن ب هـ قطر للدائرة مـ ، جـ د قطر للدائرة ن
تدريب :
أ ب جـ مثلث فيه أ ب = 5 سم ، ب جـ = 6 سم ، أ جـ = 7 سم
رسم ب د ┴ أ جـ ويقطعه في د ، رسم جـ هـ ┴ أ ب ويقطعه
في هـ . اثبت أن النقط هـ ، ب ، جـ ، د تمر بها دائرة واحدة
وعين مركزها وطول نصف قطرها.
( 7 )
:f::scorched::p:
إعداد
الموجه الفني أ . منصور الخولي
إشراف
أ .حسين على عبدالله
موجه اول الرياضيات – منطقة العاصمة التعليمية
تعريف :
الدائرة هى مجموعة نقط المستوى التى تكون على أبعاد متساويه
من نقطة ثابتة فى المستوى.
*تسمى النقطة الثابتة مركز الدائرة.
*يسمى البعد الثابت طول نصف القطر.
نصف قطر الدائرة: قطعة مستقيمة طرفاها مركز الدائرة واحدى نقاط الدائرة.
وتر الدائرة: قطعة مستقيمة طرفاها نقطتين مختلفتين من نقاط الدائره.
قطر الدائرة : هو وتر فى الدائرة يمر بمركزها.
تطابق دائرتين : يقال لدائرتان أنهما متطابقتان إذا تساوى طولا نصف قطريهما.
يلاحظ أن:
1- الدائره تجزئ مجموعة نقاط المستوى إلى ثلاث مجموعات هى :-
أ) مجموعة نقاط الدائرة
ب) مجموعة نقاط داخل الدائرة
ج) مجموعة نقاط خارج الدائرة
2- مجموعة النقاط داخل الدائرة اتحاد مجموعة نقاط الدائرة تسمى منطقة دائرية.
3- كل مستقيم يمر بمركز الدائرة هو محور تماثل لها.
موضع نقطة بالنسبة لدائرة :
لمعرفة موضع نقطة بالنسبة لدائرة طول نصف قطرها نق نعين البعد بين النقطة ومركز الدائرة وليكن ل فإذا كانت
1. ل < نق كانت النقطة خارج الدائرة.
2. ل = نق كانت النقطة هى احدى نقاط الدائرة ، تقع على الدائرة.
3. ل > نق كانت النقطة داخل الدائرة.
موضع مستقيم بالنسبة لدائرة :
لمعرفة موضع مستقيم بالنسبة لدائرة طول نصف قطرها نق نعين بعد مركز الدائرة عن المستقيم وليكن ل فإذا كان
1. ل < نق كان المستقيم يقع خارج الدائرة.
2. ل = نق كان المستقيم مماس للدائرة.
3. ل > نق كان المستقيم قاطع للدائرة.
والعكس صحيح ...
( 1 )
موضع دائرة بالنسبة لدائرة أخرى :
ليكن نق1 ، نق2 طولا نصفي قطري دائرتين ، ل هو البعد بين مركزى الدائرتين
تكون
1. الدائرتان متحدتا المركز إذا كان ل = صفر.
2. الدائرتان متباعدتان إذا كان ل < نق1+ نق2.
3. الدائرتان متداخلتان إذا كان ل > نق1- نق2 . ( حيث نق1 < نق2)
4. الدائرتان متماستان من الخارج إذا كان ل = نق1 + نق2. ( مماس مشترك)
5. الدائرتان متماستان من الداخل إذا كان ل = نق1 – نق2. ( حيث نق1 < نق2)
6. الدائرتان متقاطعتان إذا كان نق1 – نق2 > ل > نق1 + نق2 .
الدائرة الخارجة لمثلث :
هى دائرة مارة برؤو س المثلث .
(ملاحظة : يوجد تعريف آخر للدائرة الخارجة لمثلث.)
الشكل الرباعى الدائرى:
إذا مرت دائرة برؤوس شكل رباعى سمى الشكل (شكل رباعى دائرى).
القوس:
بفرض أ ، ب نقطتان منتميتان إلى دائرة مركزها م فإن مجموعة نقاط الدائرة والتى تبدأ من النقطة أ وتنتهى عند النقطة ب أو العكس تسمى قوسا فى الدائرة ويرمز لها بالرمز.
أ ب أ جـ ب
القوس الأصغر القوس ألأكبر
إذا كان أ ب قطر فإن أ ب يسمي نصف دائرة
( 2 )
القطر ، الوتر:
1- قطر الدائرة المار بمنتصف وتر يكون عمودياً على هذا الوتر.
2- قطر الدائرة العمودى على وتر فيها ينصف هذا الوتر.
3-المستقيم العمودى على وتر فى الدائرة من منتصفه يمر بمركز الدائرة.
ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــ
المماس:
1- نصف قطر الدائرة عمودى على المماس.
2- المستقيم العمودى على نصف قطر الدائرة عند نقطة نهايته التى تنتمى للدائرة يكون
مماساً لهذه الدائرة عند هذه النقطة.
خط المركزين:
1- خط المركزين لدائرتين متقاطعتين عمودى على الوتر المشترك وينصفه.
( 3 )
2- إذا كانت الدائرتان متماستان من الخارج أو من الداخل فإن خط المركزين يكون عمودياً على المماس المشتترك لهما.
ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ
تعيين الدائرة:
كل ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة تمر بها دائرة واحدة.
ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ــــــ
الأوتار ، مركز الدائرة:
1- الأوتار المتساوية الطول فى دائرة تكون على أبعاد متساوية من مركزها
( إذا كان أ ب = س ص فإن م جـ = م ع)
2- فى الدوائر المتطابقة : الأوتار المتساوية الطول تكون على أبعاد متساوية من المركز.
3- فى الدائرة الواحدة أو فى الدوائر المتطابقة الأوتار التى على أبعاد متساوية من المركز تكون متساوية الطول.
ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــ
• الزاوية المركزية : هي زاوية رأسها مركز الدائرة
• الزاوية المحيطية : هي زاوية ينتمي رأسها للدائرة وتحصر بين ضلعيها
قوسا من الدائرة
* قياس القوس : هو قياس الزاوية المركزية المقابلة لهذا القوس
يلاحظ أن قياس القوس لا يعني طول القوس
ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ــــــــــ
( 4 )
نتائج :
1 ) في الدائرة الواحدة ( أو في الدوائر المتطابقة ) إذا تساوي قياسا قوسين
فإنهما يتساويان في الطول .
2 ) في الدائرة الواحدة ( أو في الدوائر المتطابقة ) إذا تساوي قياسا قوسين
فإن وتريهما يكونا متساويين في الطول
3 ) الوتران المتوازيان في دائرة يحصران قوسين متساويين في القياس
4 ) القوسان المحصوران بين وتر ومماس للدائرة يوازي الوتر متساويان في
القياس
،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،
نظرية :
قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس الزاوية المركزية المرسومتان
علي قوس واحد
نتيجة : الزاوية المحيطية المرسومة علي قطر الدائرة قائمة
،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،
نظرية :
في الدائرة الواحدة الزوايا المحيطية المرسومة علي نفس القوس متطابقة
نتيجة : في الدائرة الواحدة أو في الدوائر المتطابقة الزوايا المحيطية التي
تحصر أقواسا متساوية في القياس تكون متساوية في القياس .
والعكس صحيح
،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، ،،،،،،،،،،،،،،،،،،
نظرية :
إذا تساوي قياسا زاويتين مرسومتين علي قاعدة واحدة وفي جهة واحدة منها
فإنه يمر برأسيهما دائرة واحدة تكون هذه القاعدة وترا فيها
نتيحة : إذا تساوت قياسات عدة زوايا مرسومة علي قاعدة واحدة وفي جهة واحدة منها فإن رءوسها تقع علي دائرة واحدة
نتيجة : الشكل الرباعي الذي فيه زاويتان مرسومتان علي أحد أضلاعه ورأسيهما رأسان في الشكل ومتطابقتان يكون شكلا رباعيا دائريا
ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــ
( 5 )
المماسات والزوايا المماسية :
نظرية : القطعتان المماستان لدائرة والمرسومتان من نقطة خارجها متطابقتان
نتيجة : 1 ) المستقيم المار بمركز دائرة ونقطة تقاطع مماسين لها يكون محورا لوتر
التماس لهاذين المماسين.
2 ) المستقيم المار بمركز دائرة ونقطة تقاطع مماسين لها ينصف الزاوية
بين هذين المماسين وينصف الزاوية بين نصفي القطرين المارين بنقطتي
التماس .
ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــ
تعريف : الدائرة الداخلة لمثلث ( أو مضلع ) هي الدائرة التي تمس أضلاعه جميعها
ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ
تعريف :
الزاوية المماسية هي زاوية رأسها إحدي نقاط الدائرة وأحد ضلعيها نصف
مماس للدائرة والآخر يحمل وترا فيها .
• قياس الزاوية المماسية يساوي نصف قياس القوس المحصور بين ضلعيها.
نظرية :
قياس الزاوية المماسية يساوي قياس الزاوية المحيطية المرسومة علي
وتر التماس من الجهة الاخري
ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــ
( 6 )
مثال :
دائرة مركزها م ، أ ب ، جـ د وتران في الدائرة بحيث أ ب // جـ د
، ب هـ = جـ و . اثبت أن أ هـ // و د
مثال : ↔
مـ ، ن دائرتان متماستان من الخارج في نقطة أ ، ب جـ مماس
للدائرتين في ب ، جـ . رسم ب أ فقطع الدائرة ن في د ، رسم
جـ أ فقطع الدائرة مـ في هـ .
اثبت أن ب هـ قطر للدائرة مـ ، جـ د قطر للدائرة ن
تدريب :
أ ب جـ مثلث فيه أ ب = 5 سم ، ب جـ = 6 سم ، أ جـ = 7 سم
رسم ب د ┴ أ جـ ويقطعه في د ، رسم جـ هـ ┴ أ ب ويقطعه
في هـ . اثبت أن النقط هـ ، ب ، جـ ، د تمر بها دائرة واحدة
وعين مركزها وطول نصف قطرها.
( 7 )
:f::scorched::p: