طلب:اريد براهين تكاملات دوال مثلثية معينة..

[JOLYSTAR]

بسم الله الرحمن الرحيم....
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته ...
كل عام وانتم بخير بمناسبة عيد الحج المبارك

طلبت منا استاذة مادة الرياضيات براهين تكاملات بعض الدوال المثلثية وانا لست تخصص رياضيات ومعرفتى محدوده في باب التكاملات ارجو منكم مساعدتي فانا احتاجها جدا..وجزاكم الله خيرا..

تكاملsin²x dx
تكاملtanx dx
تكاملcotx dx
تكاملsecx dx
تكاملcosecx dx


:ty:

[laila245]

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته

الأولى:

باستخدام المتطابقة :

\LARGE\cos 2x = 1 - 2\sin ^2 x\quad \Rightarrow \quad \sin ^2 x = \frac{1}{2}\left( {1 - \cos 2x} \right)

نجد أن:

\LARGE\int {\sin ^2 xdx = \int {\frac{1}{2}\left( {1 - \cos 2x} \right) = \frac{1}{2}\left( {x - \frac{1}{2}\sin 2x} \right) + c} }

الثانية :

باستخدام القاعدة : تكامل البسط مشتقة المقام = لو | المقام |+ث

أي :

\LARGE\int {\frac{{f'(x)}}{{f(x)}}dx = \ln \left| {f(x)} \right|} + c

نجد أن :

\LARGE\int {\tan xdx = \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx = - } } \int {\frac{{ - \sin x}}{{\cos x}}dx = - \ln \left| {\cos x} \right| + c}

وبالمثل للثالثة :

\LARGE\int {\cot xdx = \int {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}dx = } } \ln \left| {\sin x} \right| + c

الرابعة :

بضرب البسط والمقام في sec x+ tan x ثم استخدام نفس القاعدة السابقة نجد أن:

\LARGE\int {\sec xdx = \int {\frac{{\sec x(\sec x + \tan x)}}{{\sec x + \tan x}}dx} } = \int {\frac{{\sec ^2 x + \sec x\tan x}}{{\sec x + \tan x}}dx = } \ln \left| {\sec x + \tan x} \right| + c

والأخيرة مثل الرابعة :

نضرب بسط ومقام في cosec x + cot x

[JOLYSTAR]

كل الشكر والتقدير اليك مشرف ساحة المرحلة الثانوية...
...(la245)....
جزاك الله خيرا وجعله في موازين حسناتك وفرج عنك في الدنيا والاخره..