مختارات من القسم (مشتقات)

[uaemath]

السؤال للأخ خالد :

أوجد المشتقة النونية للدالة :

y = 1 / ax + b

==============================

الجواب


مرحبا بك أخي خالد

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0794482001117481869.png

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0446112001117482211.png

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0853459001117482356.png

يمكننا الان إستنتاج المشتقة النونية :

لاحظ التالي :

إشارة المشتقة سالبة عندما تكون الرتبة عددا فرديا(كالمشتقة الأولى و الثالثة ) و موجبة إذا كانت الرتبة عددا زوجيا (كالمشتقة الثانية)

نستطيع بسهولة التعبير عن ذلك بوضع :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0025340001117482931.png

في المشتقة النونية

من الواضح أن أس العدد
a
متطابق مع رتبة المشتقة
y' : a
y" : a^2
نستطيع بسهولة التعبير عن ذلك بوضع :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0436909001117483500.png

من الواضح أن أس المقام
ax+b
متطابق مع رتبة المشتقة + 1
y' : (ax+b)^2
y" : (ax+b)^3
نستطيع بسهولة التعبير عن ذلك بوضع :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0456649001117483677.png

يبقى الأعداد :
1, 2, 6 , 24 .......
ما هي إلا مضروب العدد :
1! = 1
2! = 1 × 2 = 2
3! = 1× 2 × 3 = 6
4! = 1×2 ×3 × 4 = 24
و عليه تكون المشتقة النونية :
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0144414001117484341.png

علينا الان أن نثبت صحة هذه المقولة و ذلك بواسطة الإستقراء الرياضي

INDUCTION

[uaemath]

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0144414001117484341.png

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0903481001117484812.png

نفرض أنها صحيحة عند
n = k
و من ثم نثبت صحتها عند
n = k+1
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0399638001117485049.png

المشتقة ذات الرتبة
k+1
نقوم باشتقاق المشتقة من الرتبة
k
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0247833001117485378.png
لاحظ
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0920383001117485733.png


http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0250398001117486191.png

و هي صحيحة لأنك إذا استبدلت

n with k+1
ستحصل على نفس القاعدة

للمزيد من المعلومات عن الإستقراء الرياضي ، انظر :
http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?s=&threadid=377