مختارات من القسم (نظرية الأعداد)

[uaemath]

السؤال :

ماهو أصغر عدد طبيعي س إذا قسمته على كل من الأعداد 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 يكون الباقي هو 1 و إذا قسمته على 7 يكون الباقي هو 0.

==========================

الحل :


:wave: حسان

:w: في منتديات الرياضيات العربية :w:

في البداية سنوجد العدد الذي يقسم على 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 (بدون باقي )

ثم نضيف إليه 1 ، ليصبح باقي القسمة : 1

ثم نحاول إيجاد القيمة التي تجعل منه يقسم على 7 بدون باقي


العدد الذي يقسم على 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 (بدون باقي ) هو المضاعف المشترك

الأصغر : 60

60 + 1 = 61 تترك باقي = 1 عند قسمتها على 2، 3 ، 4 ، 5 ، 6

و لكنها لا تحقق القسمة على 7

الشكل العام للعدد الذي نبحث عنه : 60 س + 1

نضع : 60س + 1 = 0 (mod 7 )

4س + 1 = 0 (mod 7 )

4س = -1 (mod 7 )

4س = 6 (mod 7 )

الحل الأول الذي يحقق المعادلة : س = 5 و تتكرر القيمة كلما أضفنا 7

إذن لتقسم 60س + 1 على 7 ، س = 5 + 7 ن ( ن عدد طبيعي)

60س + 1 = 60 ( 5 + 7ن ) + 1 = 301 + 420 ن

أصغر عدد عند ن = صفر

العدد المطلوب = 301

[حسام محمد]

التمرين:


أوجد باقي قسمة http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0527332001177104839.png على http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0683608001177104864.png


الحل :

http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_14870605.JPG

[حسام محمد]

التمرين :

أوجد أصغر عدد صحيح k بحيث يكون :


http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0121076001177105742.png قاسماً لـ http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0246096001177105790.png

الحل :

يمكن الاستفادة من خواص المود كمايلي:

http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_16726074.JPG

[hussam]

ماهو أصغر عدد طبيعي n الذي اذا كان p اصغر من n وايضا 1=(GCD(n,p
اذا p هو عدد اولي
برهن انه اصغر عدد

[mathson]

ماهو أصغر عدد طبيعي n الذي اذا كان p اصغر من n وايضا 1=(gcd(n,p
اذا p هو عدد اولي
برهن انه اصغر عدد

السؤال غير مفهوم... الرجاء إعادة صياغته.

[hussam]

اسف ساعيد صياغة السؤال
ا)ماهو أكبر عدد طبيعي n الذي يحقق ان كل p اصغر من n وايضا 1=(GCD(n,p
فان p هو عدد اولي (مثال الرقم 6 يحقق الشرط لكنه ليس اكبر عدد)
ب)برهن انه اكبر عدد

[mathson]

اسف ساعيد صياغة السؤال
ا)ماهو أكبر عدد طبيعي n الذي يحقق ان كل p اصغر من n وايضا 1=(GCD(n,p
فان p هو عدد اولي (مثال الرقم 6 يحقق الشرط لكنه ليس اكبر عدد)
ب)برهن انه اكبر عدد

المسألة بها قليل من المشاكل.

1) لاحظ أن \gcd(6,1)=1 و لكن 1 عدد غير أولي.
2) لاحظ كذلك n! تحقق الشرط بالتالي فإن أكبر عدد غير معرف. (بإهمال الملاحظة 1)

والله أعلم.

[hussam]

لا انا قصدت ب 1=(GCD(n,p
هو ان لا يوجد عامل مشترك بين العددين(coprime) بالطبع نقصد عامل غير1
تلميح:فكر لماذا 15 لا يحقق الشرط(GCD(15,4)=1)
اعتقد ان ايجاد العدد ليس صعبا بقدر برهنة انه اكبر عدد(سوف اكتب البرهان لاحقا)

[mathson]

لا انا قصدت ب 1=(gcd(n,p
هو ان لا يوجد عامل مشترك بين العددين(coprime) بالطبع نقصد عامل غير1
تلميح:فكر لماذا 15 لا يحقق الشرط(gcd(15,4)=1)
اعتقد ان ايجاد العدد ليس صعبا بقدر برهنة انه اكبر عدد(سوف اكتب البرهان لاحقا)

سأفكر فيها.

[mathson]

اسف ساعيد صياغة السؤال
ا)ماهو أكبر عدد طبيعي n الذي يحقق ان كل p اصغر من n وايضا 1=(GCD(n,p
فان p هو عدد اولي (مثال الرقم 6 يحقق الشرط لكنه ليس اكبر عدد)
ب)برهن انه اكبر عدد

الحل:

العدد هو 30.
لأنه يجب أن يكون \gcd(n,p^2) > 1.
وبفرض وجود عدد أكبر من 30 يحقق المطلوب. يجب أن يكون \gcd(n,49)=7,49، بضرب 30 في 7 نجد أنه 210. ولكن \gcd(210,121)=1 وهكذا...

ومن ثم نجد أن n=2\cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdots =^? \infty وهي قيمة غير معرفة. بالتالي فإن أكبر قيمة للعدد n هي 30.

والله أعلم

[hussam]

نعم اذا كانp_1=2,p_2=3,p_3=5.....والعددp_1\cdot p_2\cdot \cdot \cdot p_k=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdot p_k
ولكنك لم تبرهن ان
p_{k+1}^2<p_1p_2...p_{k} ل k\le5
اذ يمكنك برهان النظريه باستعمال الاستقراء الرياضي والادعاء
Lemma : p_{k+1}<2p_k
وهكذا برهنت النظرية بالافتراض ان هذه الادعاء صحيح ولكنني لم استطع برهان هذا الادعاء :
p_{k+1}<2p_k

[neama]

اعتقد أن باقى القسمة صفر

[rema]

ارجو حل المسائل بطريقة ( العاب ) &^&^^& مسلية &%^*^****