درس مبسط في النهايات مع تمارين محلولة

[أيمن ديان]

بسم الله الرحمن الرحيم

معظم الطلاب يعتقد بأن النهايات شيء يصعب فهمه

والسبب في ذلك هو طريقة الشرح التي أخذها الطالب لهذا الدرس

ولكن الحقيقة انها من أبسط الأمور ( طبعا ً اذا لم نخض في التفاصيل )

ولنبدأ على بركة الله :

لو سألت السؤال التالي :

أوجد نهاية المقدار ( س + 5 ) عندما س تسعى إلى 3

الجواب : 3 + 5 = 8

وهذه هي القصة وما فيها أي أننا نعوض عن س بــ 3 (المقدار الذي تسعى إليه)

سأعطي الآن بعض التمارين المحلولة :

س1) أوجد نها(3س +4) عندما س تسعى إلى 0

الجواب := (3×0 ) + 4 = 4

س2) أوجد نها[س\(س+3) ] عندما س تسعى إلى 2

الجواب 2\(2+3) = 2\5

س3) أوجد نها [(س-2)\(س+3)] عندما س تسعى إلى 2

الجواب : (2-2)\(2+3) = 0\5 = 0

هذه هي المرحلة الأولى من درس النهايات

وأظن أنها سهلة جدا ً جدا ً ومفهومة

دعونا الآن ننتقل للمرحلة الثانية من الشرح

[أيمن ديان]

المرحلة الثانية :

أحيانا ً وبعد التعويض عن قيمة س بما يساويها تنتج معنا نتائج غريبة مثل :

1\0 (واحد ÷ صفر)

0\0 ( أي صفر تقسيم صفر)

∞ - ∞ (أي لانهاية - لانهاية)

∞ \ ∞ (أي لانهاية ÷ لانهاية)

0× ∞ ( 0 × لانهاية)

0 \ ∞ ( 0 ÷ لانهاية)

∞ × ∞ ( لانهاية × لانهاية)

0\عددما

وهناك نتائج أخرى كثيرة مثل هذه الأمثلة والتي تجعل الطالب يعتقد بأن النهايات صعبة

وحتى يكون الأمر سهلا ً جدا ً سأعطيك عدة أمثلة واقعية تعينك على الفهم

سنتخيل بأن العدد صفر هو شيء صغير جدا ً جدا ً مثل الفيروس أو الجرثومة

سنتخيل أن اللانهاية هي شيء كبير جدا ً جدا ً مثل الكرة الأرضية أو الكواكب أو النجوم والمجرات

سنتخيل العدد 1 هي تفاحة مثلا ً (أي أشياء محسوسة بالنسبة لنا )

الآن سأجيب عن الأسئلة السابقة بالاعتماد على الفيروس والتفاحة والارض

[أيمن ديان]

1\0

تخيل لو أعطينا تفاحة للفيروس أو الجرثومة ، فهو سيجدها كبيرة جدا ً جدا ً بالنسبة له

والكبير جدا ً جدا ً هو اللانهاية

أي أن 1\0 = ∞

الآن : ∞\0 وهنا تخيل أننا أعطينا الكرة الأرضية للفيروس

فعندما أعطيناه تفاحة رآها كبيرة جدا جدا فكيف اذا اعطيناه الكرة الارضية

سيراها كبيرة جدا جدا جدا جدا أي أيضا ً الجواب لانهاية

إذا : ∞ \ 0 = ∞

[أيمن ديان]

الآن : 1\ ∞

تخيل لو أعطينا تفاحة للكرة الأرضية فهي ( أي الأرض) ستراها صغيرة جدا جدا

والصغير جدا جدا هو الصفر

أي 1 \ ∞ = 0

وأيضا أي عدد \ لانهاية = 0

الآن :

∞ \ 1

تخيل لو أعطينا الأرض لشخص ما فهو سيراها كبيرة جدا جدا أي لانهائية

إذا : ∞ \ 1 = ∞

وأيضا لانهاية ÷ أي عدد = لانهاية

[أيمن ديان]

الآن :

0 \ 0

الجواب عدم تعيين أي أننا لا نستطيع ايجاد قيمة محددة

فربما الجواب يكون =1 وربما 2 وربما 0 أو -3 أو أو ........

والسبب في ذلك هو ما يلي :

نحن نعلم أن 6\3 = 2 لأن 2×3 =6

ولكن 0\0 يمكن أن =1 لأن 1×0 = 0

0\0 = 2 لان 2×0 =0

وممكن أي عدد

لذلك يسمى عدم تعيين

وأيضا ً ∞ \ ∞ = عدم تعيين

أرجو مراجعة الموضوع التالي للتعمق أكثر :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=6479

[أيمن ديان]

لنعد الآن إلى النهايات بعد أن عرفنا هذه المعلومات

س4) أوجد نها ( س²-5س+1) عندما س تسعى إلى 3

الجواب = 3² - (5×3) +1 = 9 - 15 +1 = -5

س5) أوجد نها ( 1\س) عندما س تسعى إلى 0

الجواب = 1\0 = ∞ وهو الجواب المطلوب

س6) أوجد نها [( س-3) \ (س+3) ] عندما س تسعى إلى -3

الجواب = (-3-3) \ ( -3+3) = -6\0 = ∞

طبعا هنا الجواب إما + أو - ∞ وذلك حسب ما تسعى س إلى الصفر من اليمين أو اليسار

ولن أدخل بتفاصيلها الآن

[أيمن ديان]

س8) أوجد نها [( س² - 1) \ ( س+3) ] عندما س تسعى إلى ∞

الجواب = عند التعويض نجد ( ∞ ² - 1 ) \ ( ∞ + 3) = ∞\∞ نقول هنا عدم تعيين

ويجب تعيينه

ولإيجاد قيمة عدم التعيين طرق متعددة فهنا مثلا سنقسم البسط والمقام على س

= [( س ² \ س ) - ( 1\س) ] \ [ ( س\س ) + ( 3\س) ]

= [ س - ( 1\س) ] \ [ 1+( 3\س)] وعندما س تسعى إلى اللانهاية يكون :

= ( لانهاية - 0) \( 1+0) = ∞ \ 1 = ∞

[أيمن ديان]

هناك طريقة ثانية لحل السؤال السابق تعتمد على قاعدة لوبيتال

وهذه القاعدة تقول :

عندما يكون الجواب 0\0 أو ∞\∞ نقوم باشتقاق البسط واشتقاق المقام

ثم نوجد النهاية للمقدار الجديد

والمثال السابق نتج ∞ \ ∞ عدم تعيين

لذلك نشتق البسط والمقام فيصبح :

نها(2س\1 ) عندما س تسعى إلى ∞

= ( 2× ∞) \ 1 = ∞

[أيمن ديان]

تمارين محلولة :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=36

وهنا تمرين باللغة اللاتينية

فقط اجعل x = س

lim هي نها وبعدها يكون واضح

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=8375

[أيمن ديان]

هنا يوجد ملخص ربما تستفيد منه

المشكلة أن الخط غير واضح

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=8545

[أيمن ديان]

هنا توجد روابط مفيدة للنهايات في المشاركة 2:

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=7222

[أيمن ديان]

هنا رابط وأسئلة متنوعة لها علاقة بالنهايات :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=7981

وهنا يوجد سؤال جميل وحله في المشاركة رقم 7

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=5562

وهنا تمرين محلول بطريقتين :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=8249

[أيمن ديان]

تمرين آخر ولكن بلغة لاتيكس :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=6064

وهنا تمرين أيضا :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=8141

وهنا تمرين محلول بالعربي وباللاتيك

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=8085

[أيمن ديان]

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=7472

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=7988

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=7366

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=7153

[أيمن ديان]

وهذا سؤال وحله الواضح في المشاركة الخامسة :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=3998

[أيمن ديان]

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=6228

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=6119

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=5819

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=4353

أرجو الفائدة للجميع

[ppu]

مشكوور أستاذ أيمن
عمل أكثر من رائع
بارك الله فيك
وجعله الله في ميزان حسناتك

[عبد الحميد السيد]

مشكور أخي أيمن على المجهود الكبير
الموضوع أكثر من ممتاز
وله فائدة كبرة جدا"
أتمنى الاستمرارية حرصا" على اقصى فائدة
وسيكون لي عوده إن شاء الله

[uaemath]

شكرا اخي ايمن على الموضوع الرائع :clap:

و اسمح لي أن أضيف :


http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=8605

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=3712

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=3737

[laila245]

مجهود رائع جداً أستاذ أيمن

جزاك الله خيراً

[الظاهر بيبرس]

شكرا للجميع

[* H@jooOoorh *]

تعجز حروفي عن شكرك فوالله لم افهم الدرس الا بعد شرحك الرااااااااااائع

جزاك الله أعالي الجنان وفقك اينما كنت

[أيمن ديان]

مشكورين اخوتي الكرام على مروركم الذي نور موضوعي

[mami]

بارك الله فيك بارك الله فيك بارك الله فيك
الله يخليك
وجزاك الله كل خير

[أيمن ديان]

بارك الله فيك بارك الله فيك بارك الله فيك
الله يخليك
وجزاك الله كل خير

تعجز حروفي عن شكرك فوالله لم افهم الدرس الا بعد شرحك الرااااااااااائع

جزاك الله أعالي الجنان وفقك اينما كنت

قمة السعادة عندي أن أعلم بأن الفائدة المرجوة من الدرس قد تحققت

مشكورات mami ، H@jooOoorh على هذه الردود الرائعة :ty:

[د/منصور]

شرح مبسط وسهل
شكرا على حسن تعاونكم د ايمن

[lmaati]

merci

[أبو يوسف الشريف]

جهد رائع يستحق الشكر والتقدير
شكرا أس 100

[a2d0n0a8n]

مشكور اخوي
والله يوفقك دنيا واخره والله ما عمري شفت تبسيط اكثر من كذه

[أيمن ديان]

أشكركم جزيل الشكر على ردودكم الرائعة مثلكم

[mohmmmmmed]

مشكور

[Totah..~]

مشــــــــــــــكور جزاك الله خيــر

[أيمن ديان]

مشكور

مشــــــــــــــكور جزاك الله خيــر

مشكورين الأخ محمد والأخت توته على المرور

:tme:

[th_m_a_th]

جزاك الله خيراً

[حلمي النجاح]

مشكور اخي والله اني سجلت بالمنتدى عشان موضوعك المهم



وبانتظار الجديد عن النهايات


فرج الله عنك كربتك كما فرجت مشكلتي

[abdallah99]

الله يجزيكي الخير بل كل اخير اقسم بالله كنت اقول عن حالي حرام اكون طالب علمي
برجع وبقول الله يجزيك الخير وان شاء الله من التاجحين

[hassanelf]

مشكور على هذا الدرس المبسط

[عصام العيادي]

http://balligho.com/ads/balligho1.gif

[amany hafez]

اشكركم جميعا على هذا المجهود الرائع واخص بالشكر مستر أيمن ديان,جعله الله فى ميزان حسناتكم