اولمبياد 2007 1bsm.

[ياسين]

aوbوc اعداد حقيقية موجبة قطعا بحيث http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0547352001200747261.png
بين ان
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0109885001200747461.png

[mathson]

يمكن فرض أن a=\frac xy, b=\frac yz, c= \frac zx (لأن حاصل الضرب = 1)، الآن نعلم أن:
\sqrt{x(x+2y+2z)} \le x+y+z

بقلب الطرفين:

\frac 1{\sqrt{x(x+2y+2z)}} \ge \frac 1{x+y+z}

بالضرب في x نجد:

\frac x{\sqrt{x(x+2y+2z)}} \ge \frac x{x+y+z}

هذا يعني أن:

\sum_{cyc}\frac x{\sqrt{x(x+2y+2z)}} \ge \sum_{cyc}\frac x{x+y+z}=1

لكن لاحظ أن هذه العبارة تكافئ:

\sum_{cyc} \frac 1{\sqrt{b + \frac 1a + \frac 12}}\ge \sqrt 2

كما هو متوقع :d .

[ياسين]

السلام عليكم

اعتقد ان هناك خطا في التعويض ، او اني لم لم اراجع حلك جيدا

عندما عوضت a و b , C بقيمها الجديدة

[mathson]

السلام عليكم

اعتقد ان هناك خطا في التعويض ، او اني لم لم اراجع حلك جيدا

عندما عوضت a و b , C بقيمها الجديدة

أستميحك عذرا، بالفعل استعجلت، وهذا هو الحل بعد التعديل مع بعض التفصيل في الحسابات:

\Large \sqrt{\frac{1}{b+\frac 1a + \frac 12}} + \sqrt{\frac{1}{c+\frac 1b + \frac 12}} + \sqrt{\frac{1}{a+\frac 1c + \frac 12}} \ge \sqrt 2

الآن بفرض أن \Large a = \frac zx, b=\frac yz, c=\frac xy نجد:

\Large \sqrt{\frac{1}{\frac yz + \frac xz + \frac 12}} + \sqrt{\frac{1}{\frac xy + \frac zy + \frac 12}} + \sqrt{\frac{1}{\frac zx + \frac yx + \frac 12}} \ge \sqrt 2\\

بعد العمليات الجبرية نجد:

\Large \sqrt{\frac{2z}{2x+2y+z}} + \sqrt{\frac{2y}{2x + y + 2z}} + \sqrt{\frac{2x}{x +2y + 2z}} \ge \sqrt 2

بقسمة الطرفين على \sqrt 2 نجد:

\Large \sqrt{\frac{z}{2x+2y+z}} + \sqrt{\frac{y}{2x + y + 2z}} + \sqrt{\frac{x}{x + 2y +2 z}} \ge 1\\

لكننا نعلم أن:

\Large \sum_{cyc}\sqrt{\frac{z}{2x+2y+z}} = \sum_{cyc}\frac z{\sqrt{z(2x + 2y + z)}} \ge \sum_{cyc}\frac{z}{x + y + z}=1

بالتالي ينتج المطلوب بالتكافئات المتتالية.

[ياسين]

السلام عليكم

شكرا اخي mathson على الحلول الدكية ،

بارك الله فيك