تمرين:أثبت أن هذا الناتج يقبل القسنة على 7 ؟

[ابو نواف 1422]

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_87136231.gif

[Amel2005]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته ...

هناك فكرة قد تكون صحيحة .. وقد تكون خاطئة :

باستخدام خاصية "mod"

5555 باقى القسمة على 7 = 4

5555 ²باقى القسمة على 7 = 4 ² = 2

5555 ³باقى القسمة على 7 = 4 ³ = 1

5555 ⁴باقى القسمة على 7 = 4 ⁴ = 4


ثم تتنكرر معنا النواتج فى متسلسلة 4 ، 2 ، 1 ، 4 ، 2 ، 1 ،..........

5555 ²²²²باقى القسمة على 7 = 4 ²²²² = 2 --------------> (1)

لأن 2222 تقبل القسمة على 2

كذلك

2222 باقى القسمة على 7 = 3

2222 ²باقى القسمة على 7 = 3 ² = 2

2222 ³باقى القسمة على 7 = 3 ³ = 6

2222 ⁴باقى القسمة على 7 = 3 ⁴ = 4

2222 ⁵باقى القسمة على 7 = 3 ⁵ = 5

2222 ⁶باقى القسمة على 7 = 3 ⁶ = 1

2222 ⁷باقى القسمة على 7 = 3 ⁷ = 3

ثم تتنكرر معنا النواتج فى متسلسلة 3 ، 2 ، 6 ، 4 ، 5 ، 1 ،3 ، 2 ، 6 ، 4 ، 5 ، 1 ، ..........

2222 ⁵⁵⁵⁵باقى القسمة على 7 = 3 ⁵⁵⁵⁵ = 5 --------------> (2)

لأن 5555 تقبل القسمة على 5

====================

بجمع (1) ، (2) نستنتج أن الناتج يقبل القسمة على 7

مجرد فكرة ...

والله أعلم ... ،

[Amel2005]

أو ربما كانت هناك فكرة أخرى ...

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0799991001200855672.png



http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0784358001200855875.png

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0378096001200856006.png

وربما كانت هناك فكرة أخرى للتمرين بملاحظة أن
2222 = 2 × 11 × 101
5555 = 5 × 11 × 101

بإضافة حدود وحذفها ...
قد يكون هناك حل أسهل ...

شكرا أخانا الكريم / ابو نواف 1422... لهذا التمرين الجميل...

وفقك الله ... ،

[محمد رشيدى]

وربما كانت هناك فكرة أخرى للتمرين بملاحظة أن
2222 = 2 × 11 × 101
5555 = 5 × 11 × 101
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الفضلى/ Amel2005
لقد كنت أفكر فى هذه الفكره تماما" وسأرسل تصورى عن الحل غد"إن شاء الله
ولكن ليس بإضافة حدود وحذفها فلننتظر الى الغد

[Amel2005]

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته
الكريم أستاذى / المنقذ
سأنتظر معك الغد لأرى فكرتك
============

وحتى الغد ... ما رأيك بهذه الفكرة الأخرى :
============

2222 ⁵⁵⁵⁵ + 5555 ²²²²

بإضافة وطرح 4 ²²²²، 4 ⁵⁵⁵⁵

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0143743001200964710.png

بالنظر لكل جزء من بين الأقواس وتحليله :
===============

أولاً :

2222 ⁵⁵⁵⁵+ 4 ⁵⁵⁵⁵تقبل القسمة على (2222+ 4) = 2226

استنادا للقاعدة :

إذا كانت (ن) عدد فردي فإن أ ^ن+ ب ^ن تقبل القسمة على (أ + ب)

ولكن 2226 = 7 × 318 (من مضاعفات العدد 7) وبالتالى تقبل القسمة عليه .
===============

ثانياً :

5555 ²²²²- 4 ²²²²تقبل القسمة على 5555 - 4 = 5551

استنادا للقاعدة :

لأى عدد طبيعى ن فإن أ ^ن - ب ^ن تقبل القسمة على (أ - ب)

ولكن 5551 = 7 × 793 (من مضاعفات العدد 7) وبالتالى تقبل القسمة عليه .
===============

ثالثاً :


4 ⁵⁵⁵⁵- 4 ²²²²= 4 ²²²²( 4 ³³³³- 1) = 4 ²²²²( 64 1111 - 1)

ولكن

(64 ^¹¹¹¹- 1 ) تقبل القسمة على (64 - 1) ((((استنادا للقاعدة الأولى حيث 1111 عدد فردى)
64 - 1 = 63 = 7 × 9 (من مضاعفات العدد 7) وبالتالى تقبل القسمة عليه .

===============

من أولاً وثانياً وثالثاً ... نستنتج أن العدد قابل للقسمة على 7
وهذا الاستنتاج يمكن بلورته برابعاً وأخيراً ...

ما رأيك بالحل ؟
هل نعتبره صحيحاً ...:cool:

أنتظر حلك :rolleyes:

وفقك الله ... ،

[ابو نواف 1422]

شكرا للاخت امل على هذا الحل الرائع

[Amel2005]

الشكر موصول لتمرينك الرائع أخى الكريم ابو نواف 1422

============
وقد قمت بجمع وطرح للعدد 4 مرفوعاً مرة للأس 5555 وأخرى 2222 لأن هذين العددين المرفوع لهما أحدهما زوجى والآخر فردى ...

ولكن :
هناك فكرة أخرى .. يمكن اختصار الحل بها
============
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0237471001200993606.png
وبذلك وحدنا الأس 1111 وهو رقم فردى

ومن القاعدة :

لأى عدد فردى ن فإن أ ^ن + ب ^ن تقبل القسمة على (أ + ب)

وبالتالى الناتج يقبل القسمة على 5555 ²+ 2222 ²
ويمكن باستخدام التربيع مباشرة والجمع اثبات أن الناتج يقبل القسمة على 7

أو

قد تنفع فكرة
5555 = 5 × 11 × 101
2222 = 2 × 11 × 101

للتبسيط والحل وإثبات المطلوب ...

مجرد أفكار لتمرين أرجو أن يغيب مؤقتا عن بالى :)

كل الشكر والتقدير لك ... ،

[Amel2005]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته ... ،
أعتذر ...
الحل الأخير خاطئ ...
أرجو المعذرة ...

[محمد رشيدى]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
لنناقش هذا الحل ربما كان صحيحا"
http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_62326660.JPG
وبالتالى الناتج يقبل القسمه على 7
مجرد فكره تحتمل الصواب والخطأ
المنقذ

[Amel2005]

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته ...

أولاً : شرف لى أن سمحت لى أستاذى الفاضل بالتناقش معك :) ...
ثانياً : أعترف .. أحتاج لمساعدتك :d
الخطوات كلها مفهومة لى ... عدا (11) ¹⁰تقبل القسمة على 7
=========
فهل تساعدنى بفهمها
وفقك المولى وحفظك
==========

هناك فكرة أيضاً... لا أعلم صحتها ...

هل يمكن أن نقول :

5555 ²²²²تقبل القسمة على 5555 ويمكن التعبير عنها بما يساوى 5555 ن
2222 ⁵⁵⁵⁵تقبل القسمة على 2222 ويمكن التعبير عنها بما يساوى 2222 م

هل يمكن أن نقول أن ناتج الجمع عدد يقبل القسمة على 7777

أم صعبة قليلاً ؟

[محمد رشيدى]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
استاذتى الفضلى/ Amel2005
11^10 بإستعمال الآله الحاسبه ستجدين انه يقبل القسمه على 7 بدون باقى أم أنه غير مسموح باستخدامها؟؟؟
بخصوص الفكره المطروحه أعتقد صعبه فعلا"
ومع ذلك نحاول بأعداد اصغر ربما نكتشف شيئا"
تحياتى
المنقذ

[Amel2005]

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته ...

حسناً ... ما دامت الفكرة صعبة ... ما رأيك بالفكرة التالية :

نعلم أنه إذا كان باقى قسمة عدد م على آخر ن = س
فإن الناتج بعد رفع م لأى أس هو س مرفوعاً لذات الأس ... صح ؟!
==========
مثال بسيط :
باقى قسمة (5 ÷ 3 ) = س (وفى حالتنا س ستساوى 2)
فإن باقى قسمة (5 ² ÷ 3 ) = س ² (وفى حالتنا س ² ستساوى 4 )

==========

وحيث أن باقى قسمة 5555 ، 2222 على 7 هما 4 ، 3 على الترتيب

فإن التمرين يمكن أن يؤول إلى أن المطلوب إثبات أن ناتج
4 ²²²²+ 3 ⁵⁵⁵⁵يقبل القسمة على 7


http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0034475001201014308.png

ومن القاعدة لأى ن عدد فردى فإن أ ^ن+ ب ^ن تقبل القسمة على أ + ب

نستنتج أن الناتج يقبل القسمة على 16 + 243 = 259 = 7 × 37

من مضاعفات العدد 7

وبالتالى فإن 5555 ²²²²+ 2222 ⁵⁵⁵⁵يقبل القسمة على 7

اللهم وفق ... ،