تمارين سوري عالية المستوى (1)

[فهد ع]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته


بسم الله الرحمن الرحيم


أخوتي و أخواتي و أحبائي

سوف أكتب بعض التمارين عن القطع المكافئ

بشكل متتابع إن شاء الله

أتمنى أن أجد المشاركات الفعالة و الجيدة و الصحيحة

التمرين الأول

لدينا ع = س^2 + 2ب س + (ب-1)^2 حيث ب ثابت من ح
المطلوب أثبت أنه يوجد مماس ثابت للتابع ع أيا كانت ب من ح ثم أوجد معادلته

[أيمن ديان]

ذكرتنا بأيام الثالث ثانوي الله يعطيك العافية

بالنسبة للحل فهو كما يلي :

حتى يكون للقطع مماس واحد ( معادلته ع = م س + هـ ) يجب أن يتقاطع المماس مع القطع في نقطة مضاعفة

لذلك نعوض معادلة المماس في القطع ونجعل المميز = 0

م س + هـ = س² + 2 ب س + ( ب-1) ²

س ² + ( 2ب - م ) س + [ ( ب-1)²- هـ ] = 0

المميز = (2ب-م ) ² - 4 ( ب-1) ²+ 4 هـ

نجعل المميز = 0 حتى تكون حالة تماس وذلك مهما كانت قيمة ب

لذلك نعيد كتابة المميز كما يلي :

( 8 - 4 م ) ب + ( م ² + 4 هـ - 4 ) = 0

ومن أجل أي قيمة ل ب يجب أن يتحقق :

8 - 4 م = 0 إذا ً م = 2

وأيضا ً : م ² + 4 هـ - 4 = 0

نعوض عن م بما تساويها

4 + 4 هـ - 4 = 0

إذا هـ = 0

ومعادلة المماس هي ع = 2س

[أيمن ديان]

حل آخر :

نختار معادلتين من مجموعة المعادلات السابقة وذلك بجعل ب = 0 أولا

ب = 1 ثانيا ً

من أجل ب = 0 المعادلة هي : ع = س ²+ 1

من أجل ب = 1 نجد : ع = س² + 2 س

الآن لنفرض أن معادلة المماس هي : ع = م س + هـ ولنقاطعه مع المعادلتين السابقتين :

الأولى : م س + هـ = س ² + 1

س ²- م س + 1 - هـ = 0

والمميز سيكون مساوي للصفر لأن هناك حالة تماس :

المميز = م ² - 4 + 4 هـ = 0 هذه نسميها (1)

الآن لنعوض المماس في الثانية :

م س + هـ = س ² + 2 س

س ²+ (2-م) س - هـ = 0

المميز = (2-م )² + 4هـ = 0 أي : 4 - 4م + م²+ 4 هـ = 0 نسميها (2)

بحل المعادلتين نجد م = 2 ، هـ = 0

أي المعادلة ع = 2 س

الآن نتأكد بأنها معادلة المماس أيا كانت قيمة ب لذلك نعوضها في المعادلة العامة :

2س = س ²+ 2 ب س + ( ب-1) ²

س ²+ 2( ب-1) س + ( ب - 1) ² = 0

[ س + ( ب-1) ] ² = 0

الحل مضاعف لذلك فالمعادلة ع = 2 س معادلة مماس أيا ً كانت ب

[فهد ع]

ما شاء الله

تبارك الله

حفظك الله حل ممتاز و رائع

نتمنى الحلول تكون بهذا الوضوح

و لك ألف شكر أخي أيمن