منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

20-11-2009, 01:59 PM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
نبحث اشارة u and v
$\frac{u(1-u^9)}{1-u}+9u^9=\frac{v(1-v^11)}{1-v}+9v^11=8$
لاحظ أن
$u \neq0 and v \neq0$
اذا كانت u عدد سالب فان
u = -α حيث α > 0
$\frac{u(1-u^9)}{1-u}+9u^9=\frac{-\alpha (1+\alpha ^9)}{1+\alpha }-9\alpha ^9<0$
وهذا يعنى ان α لن تكون سالبة
بنفس الطريقة بالنسبة ل v
$0 < u < 1 and 0 < v < 1$
لمقارنة u and v توجد 3 حالات ممكنة
u = v ,u < v and u > v
الحالة الاولى u = v
$u+u^2+u^3+.....+u^8+10u^9=v+v^2+v^3+.....+v^10+10v^11 = 8$
$9u^9 = u^10 + 10u^11 = 8$
$u^9(10u^2 + u - 9) = 0$
$u^9(u + 1)(10u - 9) = 0$
u = 0 or u = -1 or u = 0.9
u=0 and u = -1 refused
$\frac{u(1-u^9)}{1-u}+9u^9=\frac{0.9(1-0.9^9)}{1-0.9}+9\times 0.9^9=9-9\times 0.9^9+9\times 0.9^9=9\neq 8$
$u\neq v, 0<u<0.9 and 0<v<0.9$

الحالة الثانية u > v
$u+u^2+u^3+.....+u^8+10u^9=v+v^2+v^3+.....+v^10+10v^11=8$
$9u^9<v^10+10v^11$
Put u = mv where m>1
$9m^9 v^9<v^10+10v^11$
$9m^9 < v + 10v^2$
$0<v<0.9 then 0<v^2<0.81$
$0 < v + 10v^2$ then $9m^9 < v + 10v^2$
$v + 10v^2>9$ but $9m^9 >9$ that is means $0<v + 10v^2<9$
then u < v
تحياتى لكم
عمر محمود