السلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته ...
شكرا لك أخي الكريم على كتابتك البرهان مرة أخرى ولاشك ان هذا الأمر اخذ منك الوقت الكثير فبارك الله فيك .
كنت سأطلب منك إعادة صياغة النظرية بدون الشرط b/c<3 لأنه ليس ضروريا بل هو نتيجة لمعطيات المسألة لكن يبدو أنك فعلت ذلك في صياغتك الجديدة للمسألة ....
ولتوضيح وجهة نظري أعطيك مثالا لنظرية فيتاغورس .
الشرط اللازم والكافي لكي يكون مثلثا اضلاعه c,b,a قائم الزاوية هو c^2=a^2+b^2 .
لكن بهذه المعطيات يمكن أن نكتب :
c^2=a^2+b^2>=2ab
بالتالي استنتاج ان :
c^2/(ab)>2

إذن حسب صياغتك الأولى للنظرية أكتبها هكذا :
إذا كان ABC مثلثا فإن الشرط اللازم والكافي لكي يكون قائم الزاوية هو c^2=a^2+b^2 حيث اضلاعه c,b,a لكل c,b,a تحقق الشرط
c^2/(ab)>2

وفي هذا نوع من التكرار وإضافة لشرط هو صحيح لكنه في الحقيقة هو نتيجة وكما لايخفي عليك أن كلما زادت شروط نظرية ما كلما أضعفتها ...

لذلك الطرح الصحيح للمسألة AMMAR KHALED Theorem هو كما تفضلت الأن :
ليكن ABC مثلثا .أضع BC=a و AC=b و AB=c.
الشرط اللازم والكافي لكي يكون A=2C هو : ( a=c * sqrt(1+b/c .

ويمكن أن تضيف فيما بعد نتائج لها مثلا :
corollary1
إذا كان في مثلثا ما ABC لدينا A=2C فأن b/c<3 .

أو
corollary2
إذا كان في مثلثا ما ABC لدينا A=2C فأن a/c<2 .


في الحقيقة نظريتك صحيحة ولقد قمت بتحرير برهان لها يختلف عما عرضت أنت خاصة فيما يتعلق بالشق الآول للنظرية .
أما وقد كتبت البرهان من جديدبالرموز العالمية فأعدك بقرائة البرهان الليلة وسأرد عليك غذا إن شاء الله وبحول الله ....

في عجالة فيما يتعلق بالإستنتاج الأخير هو على كل حال صحيح
أقصد : من ( cos(2C)=cos(A استنتجت أن 2C=A وهذا الأمر يتطلب تبريرا ولقد قرأت في موضوعك عند الرد على الأستاذ أشرف قولك أن الزوايا هي زوايا مثلث والحقيقة أن لدينا هنا 2C وليس C ....
على كل لن يستعصي عليك ذلك فالأمر بسيط جدا ... ويمكن تبرير ذلك بسهولة ...

إلى الغد بحول الله .