ك! × ( ك + 1 ) >= 2^(ك - 1 ) × (ك + 1 )

بما أن : 2^(ك - 1 ) = 2^ك × 2^-1 :

ك! × ( ك + 1 ) >= 2^ك ×2^-1 × (ك + 1 )

الآن : 2^-1 = 1/2


ك! × ( ك + 1 ) >= 2^ك ×1/2 × (ك + 1 )
ك! × ( ك + 1 ) >= 2^ك × (ك +1 )/2

(ك +1 ) ! >= 2^ك ×(ك+1)/2

الآن : (ك +1 ) /2

عندما ك = 1 ، (ك+1)/2 = (1 +1 )/2 = 2/2 = 1
عندما ك = 2 ، (ك+1)/2 = (2 +1 ) /2 = 3/2

الخ ، ................
الحقيقة هذه الخطوة غير ضرورية و إنما هي لتبيان أن (ك + 1 ) /2
هو عدد حقيقي أكبر أو يساوي 1

========================
(ك +1 ) ! >= 2^ك ×(ك+1)/2

الأن : 2^ك ×(ك+1)/2 >= 2 ^ك

و ذلك بديهي لأن 2^ك مضروبة بعدد حقيقي (>= 1) و الذي هو هنا
(ك +1 )/2 حتما ستكون أكبر من نفسها

(ك+1)! أكبر أو تساوي 2^ك ×(ك+1)/2 و هذه أكبر أو تساوي من
2^ك يعني أن :
(ك+1)! أكبر أو تساوي من 2 ^ك

(ك +1 ) ! >= 2^ك ×(ك+1)/2 >= 2^ك

و عليه : (ك+1)! >= 2 ^ ك
و هذا هو المطلوب برهانه بالأساس
----------------------------------------------
الآن نريد برهانها صحيحة لـ : ن = ك + 1 ، أي برهان :

(ك + 1 )! >= 2^ ك
-------------------------------------------------

أرحب بأية استفسارات أخرى

شكرا على سؤالك
تحياتي