منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

01-09-2007, 01:34 AM

السلام عليكم ورحمة الله وأهلا بالإخوة ياسين وعماد وعبدالله .
في البداية أنوه بالحل الجميل الذي قدمه الأخ عماد .
وفيما يلي بعض التوضيحات بخصوص هذه المسالة :

نعلم أن : يكون $x$ عدد مكونا من $n+1$ رقم إذا وفقط إذا كان $10^n \le x \prec 10^{n+1}$
وحيث أن الدالة اللوغاريتمية تزايدية فهذا يعني أيضا : $n\le \log(x) \prec n+1$
وبالتالي $n$ هو الجزء الصحيح للعدد $\log(x)$ أي $n = \left[ {\log (x)} \right]$
أي أن عدد ارقام عدد ما $x$ هو العدد $\left[ {\log (x)} \right] + 1$ حيث $\log(x)$ يعني اللوغاريتم العشري ل $x$ .
الآن باستعمال هذ القاعدة التي تمت برهنتها نجد أن :

$n = \left[ {\log (1990^{1990} )} \right] + 1 = \left[ {1990\log (1990)} \right] + 1 = 6564 + 1 = 6565$

وبالتالي عدد ارقام العدد $n$ هو $4$ .

الآن أعود إلى طريقة الأخ عماد التي تجنبنا استخدام اللوغاريتم والإقتصار على التأطير وهذا مادام التمرين أولمبياد إعدادي .
مادام العدد $1990$ مكون من اربع ارقام فهو محصور بين $1000$ و $10000$ أي $10^3\prec 1990 \prec 10^4$
الآن نرفع إلى القوة ذات الأس $1990$ فنجد أن :
$(10^3 )^{1990}\prec 1990^{1990}\prec (10^4 )^{1990}$
أي $10^{5970}\prec 1990^{1990}\prec 10^{7960}$
الآن سنتخدم هاتين النتيجتين :
عدد أرقام العدد $10^n$ هو العدد $n+1$ .
إذا كان $a \prec b$ فإن $n \le m$ حيث $n$ هو عدد أرقام $a$ و $m$ هو عدد أرقام $b$ .
وبرهان هاتين النتيجتين بسيط جدا يكفي استعمال كون دالة اللوغاريتم تزايدية والنتيجة التي تم البرهان عليها سابقا .
إذن بما أن عدد ارقام العدد $10^{5970}$ هو $5971$ رقم و عدد ارقام العدد $10^{7960}$ هو $7961$ رقم و $n$ هو عدد ارقام العدد $1990^{1990}$ و $10^{5970}\prec 1990^{1990}\prec 10^{7960}$ فإن $5971 \le n \le 7961$ .
وبالتالي نستنتج أن العدد $n$ مكون من أربعة أرقام مادام محصورا بين عددين من اربعة أرقام .
تحياتي للجميع .