السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
بسم الله الرحمن الرحيم

الحل
س= 1+1!+2×2! + 3×3!+4×4! + ......................+ (ن+1) (ن+1)!

س=1+1!+2×2! + 3×3!+4×4! + ......................+ (ن+1) (ن+1)!
+[1!+2!+3!+ .......................+(ن+1)! ]
-[1!+2!+3!+ .......................+(ن+1)! ]
س=1+(1!+1!) +(2×2!+2!) +(3×3!+3!) ........................+[(ن+1)(ن+1)!+ن+1)!] -[ 1!+2!+3!+ .......................+(ن+1)! ]
س= 1+2!+3!+4!+ ....................................+ (ن+2)!
-[ 1!+2!+3!+ .......................+(ن+1)! ]
س= (ن+2)!

هذا و الله أعلم