توضيح: الدروس التي سأعرض شرحها هي أساسيات مادة التبولوجي فقط فمن اصبح متمكنا منها فماتبقى من الماده يعتمد كليا على هذه المفاهيم الاساسيه وبعد هذه الدروس سأعرض بمشيئة الله 135 فقره صح وخطأ على المنهج ككل لكي تصبح كأختبار ذاتي لدارس هذه الماده بعد مذاكرته

حل التمارين
ملاحظه: التمرينين طريقة أثباتهم متشابهه جدا لذلك سأبرهن الأول وأترك الثاني لكم
الحل
1)واضح أن X و ينتميان إلى T لأن مكملة X هي وهي مجموعه منتهيه

2) نفرض أن As ينتمي إلى T لكل s ينتمي إلى S (علينا أثبات أن اتحاد As ينتمي إلى T)بما أن As ينتمي إلى T إذن As^c مجموعه منتهيه (وذلك من تعريفنا لـ T)
ومن ثم فإن تقاطع As)^c) مجموعه منتهيه (لأن المجموعه الكبيره منتهيه فبالتأكيد الصغيره منتهيه)
[ومن قانون دي مورجان ( اتحاد As)^c = تقاطع (^(As c ]
إذن ( اتحاد As)^c مجموعه منهيه
وبناء على ذلك فإن اتحاد As ينتمي إلى T لكل s ينتمي إلى S

3) لتكن ِِِA ,B ينتميان إلى T (علينا أثبات أن تقاطع B ,A ينتمي إلى T أيضا )
بما أن A ينتمي إلى T إذن c^A مجموعه منتهيه ------#
وبما أن B ينتمي إلى T إذن c^B مجموعه منتهيه --------##
من # و## نجد أن
c^Aاتحاد c^B مجموعه منتهيه
ولكن
[ومن قانون دي مورجان ( c^Aاتحاد A) = (c^Bتقاطع B )^ c ]
إذن A) تقاطع B )^ c مجموعه منتهيه
ومنه فإن Aتقاطع B ينتمي إلى T
من 1 و2 و3 نستنتج أن T يمثل تبولوجي على X

ويطلق عليه تبولوجي المكملات المنتهيه (Finite complement topology) أو Cofinite topology ))

الدرس الثاني
قد يأتي التبولوجي على صورة مجموعه من العناصر حينها يكون من السهل علينا تحديد المجموعات المفتوحه ولكن قد يأتي أيضا بصورة ذكر الصفه المميزه كما في التمرينيين السابقيين وفي هذه الحاله لن يكون من السهل علينا أيجاد وتحديد المجموعات المفتوحه لذلك يوجد تعريف مكافئ لتعريف المجموعه المفتوحه
نظريه:
إذا كان (X,T ) فضاء تبولوجي ، و A X ،فإن A ينتمي إلى T (مجموعه مفتوحه) إذا وإذا فقط لكل x ينتمي إلى T يوجد Bينتمي إلى T بحيث أن
x B A

سؤال :
في الفراغ المتقطع X لأي x X فإن {x} (وحيدة العنصر ) هي محموعه مفتوحه ؟

نعم لأن التبولوجي المعرف على X هو( T=P(Xوحيث أن
x} X} فإن
x X إذن {x} مجموعه مفتوحه

تعريف المحموعات المغلقه:
نفرض أن (X,T) فضاء تبولوجي، و X A تسمى A مجموعه مغلقه (Closed set) بالنسبه إلى T إذا كانت c^A مجموعه مفتوحه بالنسبه إلى T
وسوف نرمز إلى مجموعة المجموعات المغلقه في الفضاء التبولوجي (X,T) بالرمز

مثال:

إذا كان
{ X={a,b,c
T={X, ,{a},{c},{a,c
فاحسب ؟

X, ,{b,c},{a,b},{b}}=

مثال:

1-المجموعتين المغلقتين الوحيدتين في الـ indiscrete top هما
X. (أي أن كل مجموعه جزئيه منه هي مجموعه مفتوحه ومغلقه معا)
2-المجموعات المغلقه في الـ Cofinite topology هي كل المجموعات الجزئيه المنتهيه بالإضافه إلى X

سؤال :
اثبتي صحة العباره التاليه :
في الـtop discrete كل مجموعه جزئيه منه هي مجموعه مفتوحه ومغلقه معا
الحل
في الفراغ المتقطع( T=P(X
لأي A X فإن A مجموعه مفتوحه
و لأي A Xنجد أن A^c X
إذن
c^A مجموعه مفتوحه
ومنه فإن A مجموعه مغلقه

تعريف:
نفرض أن (X,T) فضاء تبولوجي، و X A ، مجموعه كل المجموعات المغلقه بالنسبه لـ(X,T) ، نعرف لصاقة (غلاقة) A (Closure) ويرمز لها بالرمز( Cl(A بأنها المجموعه الناتجه من تقاطع كل المجموعات الجزئيه المغلقه والمحتويه على A

بصيغه أخرى
Cl(A هي أصغر مجموعه مغلقه تحوي A
سؤال :
متى تكون Cl(A) = A؟
إذا كانت A مجموعه مغلقه

مثال:
لتكن {X={1,2,3,4,5
T={X,,{1},{3,4},{1,3,4},{2,3,4,5
A={2,5
احسب (Cl(A؟

خطوات الحل:
1) نوجد المجموعات المغلقه في X
2) نحدد المجموعات المغلقه التي تحوي A
3) نقوم بإجراء التقاطع بين هذه المجوعات
الحل
1) X,,{2,3,4,5},{1,2,5},{2,5},{1}}= }
نستنتج هنا في هذا المثال أن {Cl(A) = A={2,5 مباشره وذلك لأن A مجموعه مغلقه

تعريف مكافئ لـ( Cl(A:
إذا كان (X,T) فضاء تبولوجي، و A X ، فإن
x Cl(A إذا وإذا فقط كل مجموعه مفتوحهV تحتوي على x تحتوي على الأقل عنصر من A أي ان
(ارجوا المعذره لتقصيري في كتابة العبارات كرموز رياضيه)

مثال:
لتكن{ X={1,2,3,4,5
T={X,,{1},{3,4},{1,3,4},{2,3,4,5
A={2,5
هل (tex] \in [/tex] ClA( 3] ؟

خطوات الحل:
1)نحدد المجموعات المفتوحه التي تحوي 3
2)نبحث تقاطع ِA مع المجموعات المفتوحه السابقة الذكر
إذا وجدنا أن حاصل تقاطع ِA مع احدى المجموعات المفتوحه يساوي نتوقف ونقول إن 3 لا تنتمي إلى (Cl(A
أما إذا كانت جميع التقاطعات لا تساوي فإننا نستنتج أن 3 ينتمي إلى Cl(A)

ملاحظه : من الطبيعي ان العنصر 2و5 ينتميان إلى (Cl(A وذلك من التعريف ولكننا عند دراسة (Cl(A ندرس العناصر التي لاتقع بداخل A

الحل :
1) المجموعات المفتوحه التي تحوي 3 هي
X ,{ 3,4},{1,3,4},{2,3,4,5}
2) X تقاطع A = A لايساوي ( إذن نكمل)
{ 3,4} تقاطع A = ]\ ( إذن نتوقف ونستنتج أن 3 لاينتمي إلى Cl(A))تعريف :
إذا كان (X,T) فضاء تبولوجي، و A X ، نقول إن كثيفه (Dense) في X إذا كان Cl(A) =X

تمارين
حددي صحة أو خطأ العبارات التاليه:
1) x لاتنتمي إلى( Cl(A إذا وجدت مجموعه مفتوحه V تحوي x بحيث أن V ليست جزئيه من ِA ِِ ِ

2)إذا كانت (X \subset Cl( A فإن A كثيفه

3) في الفراغ التبولوجي الغير المتقطع كل مجموعه جزئيه منه كثيفه

4)إذا كانت A لايساوي B فإن ( Cl(Aلايساوي( Cl (B