بعد الرسم وتحديد النقاط في أماكنها المناسبة...


الحالة الاولى: (مركز الدائرة م على أحد ضلعي القطاع المحيطي ب د ج الذي يحصر القوس ب ج)

نفترض دون المساس بعمومية هذه الحالة أن م نقطة من الضلع ب د

ولنبرهن أن : ب د ج = 1/2 ب م ج
..............................

طريقة(1):

لدينا ب م ج =م ج د + م د ج............(1)
لأن: (مجموع أي زاويتين في مثلث = الزاوية الخارجية للزاوية الثالثة)

من جهة أخرى م ج د = م د ج.........(2)
لأن: (المثلث ج م د متساوي الساقين)

من(1)و(2): ب م ج = 2 م د ج
أي: م د ج =1/2 ب م ج
أو: ب د ج =1/2 ب م ج

وهو المطلوب
...............................

طريقة(2):

نرسم من م عمود على ج د يلاقيه في ن , ونصل ب ج

لدينا ب ج يوازي م ن
لأن : (ب ج عمود على ج د)

ومنه: ج ب م = ن م د..........(1)

لكن : (ج ب م = ب ج م)و(ج ب م+ب ج م+ب م ج=180)
ومنه: ب م ج=180-2 ج ب م.........(2)

من(1)و(2): ب م ج=180-2 ن م د........(3)

من جهة أخرى: م د ن , ن م د متتامتان .........(4)

من(3)و(4): ب م ج=180-2(90- م د ن)

أي:ب م ج=2 م د ن
ومنه: م د ن=1/2 ب م ج
أو: ب د ج=1/2 ب م ج

وهو المطلوب
................................

طريقة ثالثة:

ج ب د , ج د ب متتامتان........(1)
لأن : (ب ج د قائمة)

لكن : (ب ج م=ج ب م)و(ب ج م + ج ب م+ب م ج=180)
ومنه: ب م ج=180-2 ج ب م.......(2)

من(1)و(2): ب م ج =180-2(90-ج د ب)
أي: ب م ج =2 ج د ب
أي: ج د ب =1/2 ب م ج

وهو المطلوب


الحالة الثانية: (مركز الدائرة م داخل القطاع المحيطي ب د ج الذي يحصر القوس ب ج)

لنبرهن أن: ب د ج=1/2 ب م ج

نصل د م ونمدده ليقطع الدائرة في ط

ومنه حسب الحالة الاولى: ط د ج=1/2 ط م ج.......(1)
لأن : (م تقع على ضلع القطاع المحيطي ط د ج)

من جهة أخرى : ط م ب =1/2 ط د ب...........(2)
(أيضاً حسب الحالة الاولى)

من(1)و(2)بالجمع:

ب د ج=1/2 ب م ج

وهو المطلوب


الحالة الثالثة: (مركز الدائرة م خارج القطاع المحيطي ب د ج الذي يحصر القوس ب ج)

لنبرهن أن : ب د ج=1/2 ب م ج

نصل د م ونمدده ليقطع الدائرة في ط

ومنه حسب الحالة الاولى: ط د ب=1/2 ط م ب.....(1)

وأيضاً : ط د ج =1/2 ط م ج ............(2)

نطرح(1)من(2)نجد:

ب د ج=1/2 ب م ج

وهو المطلوب