منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

05-04-2009, 06:16 PM

السلام عليكم و رحمة الله
الدوال التي تحقق الشروط السابقة هي الدوال من الشكل: $f(n)=n+1$ .
و هذه خطوات الحل
من الشرط (1) نجد (البرهان بالتراجع)، من أجل $n\in \mathbb{N}$ ، $f(n)\geq f(0)+n$ .
من الشرط (2) بوضع: $n=kf(0),m=0$ نجد: $f((k+1)f(0))=f(kf(0))+1$
و باستعمال البرهان بالتراجع نبين أن:
$f(kf(0))=f(0)+k............(3)$
من (1) نجد: $f(0)+k=f(kf(0))\geq f(0)+kf(0)$
$\Rightarrow kf(0)\leq k\Rightarrow f(0)\leq 1$
و منه $f(0)=1$ (لأن $f(0)=0$ تؤدي إلى تناقض)
و منه بالتعويض في العلاقة (3) نجد: $f(k)=k+1$
$f(2009)=2009+1=2010$