السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

لاثبات ان العدد A ليس اوليا لكل p اولي اكبر من 5، سنثبت ان A يقبل القسمه على 3 وبالتالي فانه ليس اوليا.



ولاثبات ان A يقبل القسمه على 3 فسنثبتها باثبات ان B و C يقبلان القسمه على 3.

اثبات ان B يقبل القسمه على 3:
بما ان كل ثلاثة اعداد متتاليه لابد ان يكون احدهم يقبل القسمه على 3 ، فان p-1 و p و p+1 احدهم يقبل القسمه على 3. وبما ان p اولي فانه لايقبل القسمه . فاذن اما p-1 او p+1 يقبل القسمه على 3 وبالتالي فان حاصل ضربهما يقبل القسمه على 3.

اثبات ان C يقبل القسمه على 3:



اذا اثبتنا ان C يقبل القسمه على 3 لكل p فردي فان C يقبل القسمه لكل p اولي. وبجعل k زجي دائما فان p يصبح فردي دائما.



If xn is integer when n = 0, then x is integer for all n



اذن x عدد صحيح لكل n
اذن C يقبل القسمه على 3.
اذن A يقبل القسمه على 3.
اذن A ليس اولي لكل p اولي اكبر من 5.

والحمدلله الذي بنعمه تتم الصالحات.