نستطيع الآن متابعة البرهان: نعتبر مثلثا ABC قائم الزاوية في A. لتكن ABFG ،ACIH و BCED مربعات الأضلاع AB ،AC و BC على التوالي. لتكن J نقطة تقاطع (BC) و (AK). نريد إثبات أن مساحة BCED تساوي مجموع مساحتي ABFG و ACIH. يمكننا هذا عن طريق إثبات أن مساحة المربع ABFG تساوي مساحة المستطيل BJKD، و أن مساحة المربع ACIH تساوي مساحة المستطيل CEKJ. لإثبات المتساوية الأولى، يمكن أن نلاحظ أن المسافتين FB و BC تساويان AB و BD على التوالي. لأن الزاويتان و متقايستان، و الزاويتان (لاحظ أن ) و (لاحظ أن ) لا حظ أن متقايستان. كنتيجة، لدينا المثلثان FBC و ABD متقايسان. لاحظ أيضا أنه حسب العبارة XLI، مساحة المربع ABFG هي ضعف مساحة المثلث FBC و أن مساحة المستطيل BJKD هي ضعف مساحة المثلث ABD. بما أن المثلثين ABD و FBC متقايسان، فإن مساحة ABFG تساوي مساحة BJKD. نحصل على المتساوية الثانية بطريقة مشابهة: بملاحظة أن IC و CB يساويان AC و CE على التوالي، و أن الزاوية تقايس الزاوية ، نحصل على أن المثلثين ICB و ACE متقايسان. و علما أن مساحة المربع ACIH هي ضعف مساحة المثلث ICB و أن مساحة المستطيل CEKJ هي ضعف مساحة ACE، و بما أن المثلثين ICB و ACE متقايسان، فإن مساحة ACIH تساوي مساحة CEKJ. و بالتالي، مساحة BCED تساوي مساحة مجموع مساحتي BJKD و CEKJ، أي مجموع مساحتي ABFG و ACIH. و تكون مبرهنة فيثاغورس حالة خاصة لمبرهنة كليرو. ..