منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

03-03-2009, 02:05 AM

السلام عليكم
مرحبا بالاخوة الأفاضل
هذه مجرد محاولة بسيطة
ليكن: $A=\frac{2}{{x}^{2}-1}+\frac{4}{{x}^{2}-4}+\frac{6}{{x}^{2}-9}+...+\frac{20}{{x}^{2}-100}$
لاحظ أنه يمكن تفكيك الحدود كمايلي:
$\frac{2}{{x}^{2}-1}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$
$\frac{4}{{x}^{2}-4}=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}$
$\frac{6}{{x}^{2}-9}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+3}$
.................................................. .....
.................................................. .....
$\frac{20}{{x}^{2}-100}=\frac{1}{x-10}-\frac{1}{x+10}$
و منه يمكن كتابة A على الشكل التالي:
$A=\left(\frac{1}{x-1}- \frac{1}{x+10}\right)+\left( \frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+9}\right)+...+\left(\frac{1}{x-10}-\frac{1}{x+1} \right)$
$\Rightarrow A=\frac{11}{(x-1)(x+10)}+\frac{11}{(x-2)(x+9)}+...+\frac{11}{(x-10)(x+1)}$
و منه بالمطابقة مع المجموع الثاني نجد: $k=1$
و السلام عليكم