منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

18-11-2009, 09:35 PM

السلام عليكم ،

$y = tan^{-1} u \Rightarrow y' = \frac{1}{1+u^2}\times u'$

مثال :

$y = tan^{-1}\frac{5}{x}\Rightarrow y' = \frac{1}{1+(5/x)^2}\times \frac{-5}{x^2}$

لأن مشتقة $\frac{5}{x}$ تساوي $\frac{-5}{x^2}$

الآن :

$f(x,y) = tan^{-1}\frac{y}{x}\Rightarrow f_{x} = \frac{1}{1+(y/x)^2}\times \frac{-y}{x^2}$

و ذلك لاعتبار y ثابتا ( كالـ 5 في المثال السابق )

عندما يكون لدينا x و y بشكل قسمة كما هو الحال هنا ، من الأفضل

تحويلها إلى ضرب و ذلك لتسهيل عملية الإشتقاق و عليه العملية السابقة :

$f(x,y) = tan^{-1}{yx^{-1}} \Rightarrow f_{x} = \frac{1}{1+(yx^{-1})^2}\times -yx^{-2}= \frac{1}{1+(y/x)^2}\times -\frac{y}{x^2}$

الآن :

$f(x,y) = tan^{-1}{yx^{-1}} \Rightarrow f_{y} = \frac{1}{1+(yx^{-1})^2}\times x^{-1}= \frac{1}{1+(y/x)^2}\times \frac{1}{x}=\frac{x}{x^2+y^2}$

$f_{x} = \frac{1}{1+(y/x)^2}\times \frac{-y}{x^2}=\frac{-y}{x^2+y^2}\Rightarrow f_{xy} = -\frac{(1)(x^2+y^2)-2y(y)}{(x^2+y^2)^2}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$

باستخدام قانون مشتقة الكسر

و بالمثل يمكن إيجاد : f_xx و f_yy

لو في أسئلة تفضلي

أهلا بك