السؤال الأول :
بواسطة الإستقراء الرياضي induction
تجد الحل على هذا الرابط :

http://www.math.ucdavis.edu/~nakamur...math55fibo.pdf
تحت عنوان Lemma 5

الجزء الثاني من السؤال بواسطة التعارض:

لنفرض أن fn ,fn+1 لديهما قاسم مشترك أكبر و ليكن d
حيث d >1
حاصل طرحهما : fn+1 - fn = fn-1 سيقسم علي d

لكننا نعلم بأن : f3-f2 =f1 = 1 لا يمكت أن تقسم على d

إذا فرضيتنا خطأ و fn ,fn+1 ليس لديهما قاسم مشترك أكبر غير الواحد

السؤال الثاني

تم إثباته بواسطة أويلر الذي لم يفقه أحد مثله من الرياضيين في فن التعويض و التحويل:

وجد أويلر أن عدد فيرما الخامس :
F₅ = 2²⁵ + 1
= 4294967297
و هو يقسم على 641

F5=4294967297=641*6700417

في الحقيقة جميع أرقام فيرما من F5 إلى F11 تم تحليل كل منها إلى ضرب عددين و بالتالي ليست أولية
لمزيد من المعلومات :

http://mathworld.wolfram.com/FermatNumber.html